含參不等式恒成立數學解題技巧

含參不等式恒成立問題作為高中數學教學難點，具有復雜性和多樣性的特點，導致許多學生在解題過程中感到困惑，即使掌握了一定的解題思路，也難以有效地應對.鑒于此，深入分析問題解題技巧，糾正學生解題錯誤方法，有助于提升學生的數學能力與思維能力.

1直接求導法在含參不等式恒成立中的應用

直接求導法是含參不等式恒成立數學解題中最常用的方法之一，當不等式中包含函數最值問題時可以使用直接求導法，使用時需要明確不等式中函數表達式與參數，如給定不等式 f(x)?g(x) ，其中 f(x) 與 g(x)，h(x) 關于 x 的函數，也可能包含參數 a ，由此構造一個新的函數， ，h(x)=f(x)- g(x) ，使得原來的不等式轉化為 h(x)?0 ，對h(x) 進行求導，獲得 h^′(x)^[1] .分析導數的單調性確定其單調區間，并找到 h^′(x) 可能有的極值，使用極值點與定義域邊界數值，確定最大值和最小值，根據計算出的極值和不等式 h(x)?0 的要求，確定參數 a 的取值范圍，使不等式成立[2].

例1設 f(x)=e^x(e^x-2ax-1) 且 f(x)? 0恒成立.

（1）求實數 a 的值；

(2)證明 f(x) 存在唯一的極大值點 x_?0 ，且 e^-2< f(x₀)<2^-2

解析 (1)將問題轉化為 φ(x)=e^x-2ax-1 ，x∈R，φ(x)?0 恒成立，求出導函數 φ^′(x) ，根據導函數正確判斷出 φ(x) 的單調性，問題轉化為求解 φ(ln2a)=2a-2aln2a-1>0 ，使用構造法，構造出函數 ，利用導數判斷出 g(a) 的單調性，求出其最值，由此推導出 α_a 的數值.

(2）寫出導函數 f^′(x)=e^x(2e^x-x-2) 令 h(x)=2e^x-x-2 ，求出導函數 h^′(x) ，

根據導函數的正負關系，判斷出 h(x) 單調性，

因此 h(x) 在 單調遞減， 單調遞增，

結合零點存在性定理判斷出 f(x) ，求出極值點，由此可以得到

利用基本不等式進行放縮可證明 f(x₀)< 2^-2 ，因為 在 (-∞，x₀) 單調遞增，

因此 f(x₀)>f(-2)=e^-2[e^-2-(-2)-1]= e^-4+e^-2>e^-2

2分類討論法在含參不等式恒成立中的應用

在解決含多個參數不等式恒成立問題中，可以采用分類法，根據已知條件和求解問題，確定討論對象，識別關鍵參數，選擇一個或多個參數作為分類焦點，根據參數性質與不等式要求，確定分類標準，保障子區間內參數行為一致，在每個區間內，分析不等式的單調性、極值等性質，構建與參數相關的不等式或方程，找到不等式恒成立的參數取值范圍，并驗證[3].

例2 已知函數 1)3.

（1）若 b=0 ，且 f^′(x)?0 ，求 α_a 的最小值；

(2）證明：曲線 y=f(x) 是中心對稱圖形；

(3)f(x)>-2 當且僅當 1

解析 (1)在本題目中，將 b=0 代入原函數中，

根據 f(x)?0 ，整理公式得到變量分離，后按照恒

成立問題，分析函數極值，進行解答；(2）根據函數定義域為(0，2)，證明其為中心對

稱圖形，求證 f(1-x)+f(1+x) 為定值.（3）由 f(x)?-2 當且僅當 1

數連續性推出 α=-2 ，求解復合函數單調性，x(2-x) 在 1

在 1 x(2-x）+3b在1

調遞增，可知函數 h(x)_min=h(1)=2+3b ，對 2+3b 進行分類討論.若 2+3b?0 ，即 ，此時

0，在 1

2(x-1)+b(x-1)³>0 在 1

不符合題意.因此的 b 取值范圍是

3結語

含參不等式中恒成立問題是高中數學非常重要的內容，它不僅是考試的熱點，也是學生學習的重要內容，主要考查學生對知識點的掌握程度、思維深度以及解題的靈活性與創造性，通過解決此類問題，學生可以提升個人的抽象概括能力、邏輯推理能力以及論證分析能力.為了攻克這一教學難點，本文著重介紹了直接求導法、分類討論法兩種方法，這些方法是幫助學生根據題干給出信息，準確判斷不等式恒成立的條件，并找到解決問題的關鍵突破口.

參考文獻：

[1]沈秀蘭.基于深度學習的“含參不等式恒成立問題”微設計[J].韶關學院學報， 2023，44(2):85-89

[2]李慧.一個含參不等式恒成立問題的多解探究[J].中學數學教學參考，2022(12)：31-33.

[3]王偉.“含參不等式恒成立問題”的教學設計與實施[J].中學數學教學參考，2022(27)：17—19.