初中數學“A形”相似專題復習核心策略

組織典型的復習內容是專題復習取得良好成效的基礎和前提。專題復習不可能面面俱到，教師應基于課程標準和教材中的核心內容整體規劃復習內容，由面到線、由線到點地確定內容主題。教師要注意所選素材的代表性和研究價值，不能孤立地選擇高頻考題，因為專題復習素材應適用于數學通性通法的研究和提煉，具有較強的延展性和探究性。基于此，筆者先從若干核心知識板塊中選擇相似三角形這個“面”，再從這個“面\"中選取相似基本圖形這條“線”，最后確定“A形”相似基本圖形這個“點\"作為相似三角形專題復習的切人點和落腳點，使之貫穿復習教學全過程。同時，“A形”相似基本圖形是多地中考數學命題的重要內容，它可以與方程、函數等知識融合，有助于培養學生的分析與綜合、比較與類比、歸納與演繹等思維方法。

一、架構復習路徑，形成結構化認知

知識的簡單再現只能起到鞏固記憶的作用，而充分的縱向變式和橫向關聯可以實現認知的結構化，提高復習效益。

1.“A形”呈現

基于學生已有認知，筆者引導他們畫出“A形\"相似基本圖形，并寫出相應的條件和結論。學生畫出如圖1所示圖形，并給出條件\"點 D ， E 分別在 Δ A B C 的

邊 A B ， A C 上， ”和結論“ ①Δ A D E ～ Δ A B C .

；O

2.縱向變式

在學生鞏固原形的基礎上，筆者通過問題串逐步引導學生依次梳理出多種“A形”相似變式問題，以便后續總結提煉。

筆者先提問：如圖2，改變圖1中∠2的位置，你又能得出什么結論？學生回答： Δ A D E ～ Δ A C B 。由此，“斜A形\"相似問題被引入。

接著，筆者引導學生把圖2特殊化，設計變式圖形。學生得出如圖3所示的“子母形”變式圖形。在此基礎上，學生把圖3中 ∠ 1 和∠2特殊化，得出如圖4所示的“射影形”變式圖形。

然后，筆者改變變式方向，先引導學生將圖2中的線段 D E 向下平移至點 E 在線段 A C 的延長線上，得到如圖5所示的“燕尾形”變式圖形，然后引導學生將圖1中的線段 D E 向上平移至點 點 E 分別在線段 B A C A 的延長線上，得到如圖6所示的\"X形”變式圖形。學生類比“X形\"變式的過程，基于圖2又得出如圖7所示的“8字形”變式圖形。

為鞏固上述變式問題，筆者綜合“斜A形、8字形、燕尾形\"設計如下題目。如圖8所示，點 點 C 分別在 Δ A B E 的邊 A B ， A E 上， ∠ D B C = ∠ C E D ，求證：

學生通過模型識別、轉化和應用解決了這個問題，強化了解題技能。

最后，為拓展學生思維，筆者引導他們在圖1和圖6中加一條過點 A 的直線，使之與線段BC和 D E 相交，得出如圖9和圖10所示的“雙A形”和“雙X形\"變式圖形（也稱“線束圖”）。

上述各類變式圖形主要通過改變“A形”個別線段的位置、特殊化處理、增加線段使“A形\"異化等方式得出。這些變式圖形與\"A形\"整體構成三角形相似模型，實現了以點串線的復習素材組織方式。筆者在課堂上引導學生分析這些變式圖形的差異性和相似性，使學生形成以下理解。其差異性體現于位置關系變化導致的相似三角形元素對應關系的不同，從而獲得不同的線段比例關系。其相似性體現于以下兩個方面：一是由圖2到圖3、圖4的變化體現從一般到特殊的關系，由圖1、圖6到圖9、圖10的變化可理解為從簡單的“A形\"圖、“X形\"圖進階到復雜的\"線束圖”；二是圖1、圖6、圖9、圖10可歸納為平行截線相似模型，圖2、圖3、圖4、圖5、圖7可歸納為斜截線相似模型。經過總結，學生認識到這些基本圖形都以存在相似三角形為核心特征，并且它們之間可以相互轉化、有機結合。

求異過程使“A形”相似模型變得豐滿，求同過程使學生理解更加深刻，形成結構化認知，兩個環節共同提高了學生復習的效率。

3.橫向關聯

知識發散不僅需要縱向演繹，還需要橫向關聯，以達成各知識板塊的融合。首先，筆者橫向關聯三角形屬性，引導學生將“A形”相似系列模型與直角三角形、等腰三角形關聯，實現特殊三角形性質與相似問題的融合。其次，筆者橫向關聯平行線屬性，引導學生將“A形”“X形”相似模型及其變式中的平行線特質與平行四邊形（含菱形、矩形、正方形）、梯形關聯。再次，筆者橫向關聯角度關系，引導學生基于“A形\"相似模型及其變式中含有的等角關系，將這類問題與直線形及圓中的等角關系問題關聯。最后，筆者橫向關聯運算，引導學生將相似三角形中的比例式證明或計算與解三角形、方程、函數問題關聯。

學生深入理解“A形”相似模型及其變式問題后，筆者呈現兩道中考題（題目內容略）作為拓展練習，一道題是2024年寧夏中考數學試卷第21題，另一道題是2011年武漢中考數學試卷第24題。這些題目具有較強的綜合性和研究價值且解法較多，能讓復習走向深入。

二、聚焦方法提煉，強化數學思維

解題方法的提煉是專題復習的重要目標和任務，有助于學生提升數學思維。解題方法需要借助具體的解題過程提煉，也需要專門研究。因此，筆者單獨設置一個課時，依托以下幾道典型題，引導學生從方法形成、異同比較、層次歸類三個層面提煉解法。

1.方法形成分析

筆者先引導學生用多種方法作答如下題目。

如圖11所示，在 Δ A B C 中， ， A B = B C ， M 是線段 B C 上一點，連接 過點 B 作 B P ⊥ A M ， P 為垂足，連接 C P 并延長，交線段 A B 于點 求證：

學生匯報交流后，筆者梳理出如下5種解法：解法1是作 C H / / A B 交 B P 的延長線于點 H ， 構造“X形”相似圖形；解法2是延長 A B 至點 D ，使 B D / = B M ，連接c D ，構造“A形”相似圖形；解法3是過點 Q 作QE//P B 交 C B 延長線于點 E ， 構造“A形”相似圖形；解法4是作 P H ⊥ A B 于點 H ， 設 ∠ Q C B = α ， ∠ B A P = β . ，借助“A形”相似圖形和三角函數證明；解法5是如圖12所示，分別以直線 A B ， B C 為 x 軸、 y 軸，以點 B 為原點建立平面直角坐標系，設 A B = B C = 1 ， B Q = a ， B M = b ，作P G ⊥ A B 于點 G ， 借助\"A形”相似圖形和坐標系證明。

基于上述解法，筆者引導學生回顧解題思路，得出如下認識。解法1的切入點是“ B P ⊥ A M 和 A B ⊥ ，由此想到構造“三垂直\"全等模型，將BM轉換成 C H . 從而將 轉換成平行線段比 ，再通過CH//BQ所得的“X形\"相似得到CP=CH=BM解法2是由等腰 R tΔ A B C 想到構造一個與其共頂角頂點的等腰 R tΔ B M D ，得出 （204號 B D ，從而將不共線的線段比 轉換成共線的線段比BD ，最后通過 B P / / C D 得到\"A形\"相似圖形，得出 。解法3是從結論中 的形式想到構建“A形”相似圖形來轉換線段比，得出 ，從而將結論涉及的四條線段（ C P （204號 ，P Q ， B M ， B Q ） 轉換到 R tΔ Q B E 和 R tΔ M B A 中，最后通過證明相似得出結論。解法4是由結論涉及的四條線段前兩條傾斜、后兩條垂直，想到通過構造“A形”相似模型化斜為直，然后通過正切函數證明“垂直線段\"的比例關系。解法5是由圖形中的等腰直角三角形及點 P 的交點屬性，想到建立平面直角坐標系求 P 點坐標，進而利用函數模型化形為數解題。

2.方法異同分析

基于以上分析，筆者引導學生總結歸納這些解法的異同之處，得出如下共識。不同點包括3點：① 解題的切入點不同； ② 條件和結論的轉換方式不同，如有的是等線段轉換、有的是等比轉換； ③ 構造的模型不同，如有的構造“A形\"或“X形”，結合全等推導，有的構造“A形”，結合三角函數推導，還有的構造“A形”和坐標系，通過數形結合解決問題。相同點是：這些解法都需要借助相似模型推導，并且不管是“A形”還是“X形”，都要通過構造平行線獲得，這是證明比例線段的常用方法。方法相同點分析有助于學生從整體上把握解決這類問題的基本方向和路徑，夯實解題技能；方法不同點分析有助于學生從微觀上把握不同方法的特點和適用情境，提高思維靈活度。

3.方法層次分析

微觀層面的解法適用范圍較小，要想提高學生解決問題的能力，教師就要引導他們從數學思想方法層面總結提煉。通過交流討論，學生發現：待證的比例式往往要運用轉化的思想方法，通過轉換其中的線段或線段比間接證明；構建坐標系解幾何題的技巧蘊含著數形結合的思想方法；構造“A形”\"X形\"相似圖形和坐標系進行證明，是模型思想的具體體現。這些屬于中觀層面的解題方法，其適用范圍廣泛。

從思維方法角度而言，有的解法從條件切入，向結論逐步推導，可稱為綜合法；有的解法以結論為切入點，倒推所需要的條件，最終指向原始條件，可稱為分析法。基于以上理解，學生在筆者點撥下明晰：除了綜合法和分析法，思維方法還有歸納與演繹、比較與類比、抽象與概括等，這類方法不是數學學科所獨有的，屬于宏觀層面的方法，其適用范圍更廣。

思維提升不是一個孤立的過程，它隱含于知識復習和方法總結的過程中。學生如果能在知識與方法的專題復習中夯實“四基”提升“四能”，數學思維的發展就會水到渠成。

（作者單位：郭衛國，武漢市光谷實驗中學；郭萌，武漢新城實驗初級中學）