立足單元整體深入理解除法意義

人教版數(shù)學(xué)二年級(jí)下冊(cè)“表內(nèi)除法\"單元《除法的初步認(rèn)識(shí)》設(shè)置有5道例題，主要包括“平均分\"的含義（例1）、“等分\"情境（例2）、“包含\"情境（例3）、“等分除\"（例4）、“包含除\"（例5）等內(nèi)容，問(wèn)題情境比較零散、繁雜。為實(shí)現(xiàn)課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，幫助學(xué)生深入理解除法的意義，筆者結(jié)合學(xué)情構(gòu)建理解運(yùn)算一致性的邏輯框架，并基于單元整體教學(xué)提出課程內(nèi)容重構(gòu)策略。

一、構(gòu)建理解運(yùn)算一致性的邏輯框架

筆者立足大單元整體教學(xué)，挖掘出如下助力學(xué)生理解運(yùn)算一致性的教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)。

抓住內(nèi)容結(jié)構(gòu)的一致性。本節(jié)內(nèi)容中，平均分的概念、類(lèi)型與除法的兩種模型具有內(nèi)在一致性。平均分的兩種類(lèi)型（“包含\"和\"等分\"）聚焦于動(dòng)作表征，而除法的兩種模型（包含除和等分除）聚焦于符號(hào)表征和語(yǔ)言表征，教師可通過(guò)結(jié)構(gòu)化的情境以及多元表征方式實(shí)現(xiàn)知識(shí)銜接。

抓住符號(hào)表征的一致性。除法是相同減數(shù)連減的簡(jiǎn)便運(yùn)算，學(xué)生在一年級(jí)學(xué)習(xí)的相同減數(shù)連減與包含除的問(wèn)題情境一致。因此，教師可將“相同減數(shù)連減”與“除法的初步認(rèn)識(shí)\"相結(jié)合，溝通除法與減法的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)算式表征的一致性。

抓住數(shù)量關(guān)系的一致性。兩種除法模型涉及的數(shù)量關(guān)系，如“總數(shù) ÷ 每份數(shù) ? = 份數(shù)”及其變式，是所有用除法解決問(wèn)題涉及的數(shù)量關(guān)系（如“總價(jià) ÷ 單價(jià) 數(shù)量”“路程 ÷ 速度 時(shí)間”及其變式等）的基礎(chǔ)。教學(xué)除法時(shí)，教師說(shuō)明除法算式中各部分的含義，并提煉、總結(jié)除法算式所體現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系，可為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)用除法解決問(wèn)題奠定基礎(chǔ)。

二、基于單元整體教學(xué)的課程內(nèi)容重構(gòu)

1.創(chuàng)設(shè)情境，序列推進(jìn)

筆者將教材中4個(gè)不同的問(wèn)題情境（分糖果、橙子、餅干和竹筍）整合為序列化、結(jié)構(gòu)化、生活化的同一個(gè)問(wèn)題情境。例如，創(chuàng)設(shè)“分橙子”情境。首先，筆者設(shè)置問(wèn)題“12個(gè)橙子，分成3份，可以怎么分？”，引導(dǎo)學(xué)生在擺一擺、分一分、算一算中，發(fā)現(xiàn)“每份同樣多”這一特殊情況，進(jìn)而揭示“平均分”的概念。其次，承接上述問(wèn)題情境，筆者將平均分與除法融合，設(shè)置如下3個(gè)問(wèn)題情境，序列化推進(jìn)教學(xué)。

問(wèn)題情境1：將12個(gè)橙子平均分，放在3個(gè)盤(pán)子里，每個(gè)盤(pán)子里放幾個(gè)？學(xué)生先通過(guò)動(dòng)手操作活動(dòng)，深人體驗(yàn)平均分的過(guò)程，然后通過(guò)算一算（列減法算式 1 2 - 4 - 4 - 4 = 0 或除法算式 1 2 ÷ 3 = 4 ，溝通減法和除法的關(guān)系，并認(rèn)識(shí)除法算式各部分的名稱(chēng)12是被除數(shù)、3是除數(shù)、4是商。最后，筆者引導(dǎo)學(xué)生基于除法算式中各部分的含義，提煉出“等分除”的數(shù)量關(guān)系“總數(shù) ÷ 份數(shù) 每份數(shù)”。問(wèn)題情境2：將12個(gè)橙子平均分，放在4個(gè)盤(pán)子里，每個(gè)盤(pán)子里放幾個(gè)？此情境是對(duì)上例“等分除\"的鞏固練習(xí)。學(xué)生在自主探索中發(fā)現(xiàn)，把12個(gè)橙子平均分成4份，每份是3個(gè)，列算式為 1 2 ÷ 4 = 3 （個(gè)）。問(wèn)題情境3：有12個(gè)橙子，每3個(gè)放一盤(pán)，可以放幾盤(pán)？學(xué)生自主遷移前面解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)實(shí)物、圖示、語(yǔ)言等表征方式，抽象出除法算式“ 1 2 ÷ 3 = 4 （盤(pán)）”，理解該問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是求“12里面包含幾個(gè)3”，并基于除法算式的含義提煉出“包含除”的數(shù)量關(guān)系“總數(shù) ÷ 每份數(shù) 份數(shù)”。結(jié)構(gòu)化、序列化的問(wèn)題情境能消除碎片化例題編排的不利因素，促進(jìn)學(xué)生建立知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成結(jié)構(gòu)化思維。

2.多元表征，促進(jìn)理解

為幫助學(xué)生深入理解\"平均分\"以及“除法\"等抽象概念，筆者通過(guò)多元表征方式，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象的認(rèn)知過(guò)程。以教學(xué)“等分除\"（問(wèn)題情境1）為例，筆者采取擺一擺、畫(huà)一畫(huà)、理一理、算一算、說(shuō)一說(shuō)的步驟教學(xué)。

首先，筆者讓學(xué)生動(dòng)手操作，擺一擺、分一分，邊擺邊說(shuō)分法。學(xué)生發(fā)現(xiàn)每個(gè)盤(pán)里應(yīng)放4個(gè)。然后，筆者讓學(xué)生拿出學(xué)習(xí)單，在點(diǎn)子圖上圈一圈、連一連。完成后，學(xué)生交流、評(píng)議不同畫(huà)法（如圖1所示4種畫(huà)法），進(jìn)而發(fā)現(xiàn)一個(gè)一個(gè)地分最不容易出錯(cuò)。

隨后，筆者讓學(xué)生用“是什么？怎么分？結(jié)果怎樣？”梳理平均分的過(guò)程和結(jié)果。通過(guò)對(duì)比不同分法，學(xué)生發(fā)現(xiàn)雖然分的過(guò)程不一樣，但分的結(jié)果相同——都是將12個(gè)橙子平均分成3份，每份是4個(gè)。學(xué)生在學(xué)習(xí)單上嘗試用算式表示平均分的過(guò)程和結(jié)果，交流所列出的算式 1 2 - 4 - 4 - 4 = 0 和 1 2 ÷ 3 = 4。在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“ ÷ ”，掌握除法算式的讀法和每個(gè)部分的名稱(chēng)。最后，筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)照點(diǎn)子圖，分別說(shuō)出算式中的每個(gè)數(shù)所表示的含義。學(xué)生通過(guò)觀察、思考，得出“12表示一共有12個(gè)橙子，即橙子的總數(shù)；3表示平均分的份數(shù)；4表示每份有幾個(gè)，即每份數(shù)”，并由此抽象出數(shù)量關(guān)系“總數(shù) ÷ 份數(shù) 每份數(shù)”。

情境2、情境3的教學(xué)可仿照以上教學(xué)過(guò)程進(jìn)行。教學(xué)過(guò)程中，筆者注重通過(guò)對(duì)比，溝通不同情境之間的聯(lián)系和不同表征方式之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生感悟除法的本質(zhì)。例如，筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比情境1和情境3，發(fā)現(xiàn)其相同之處在于“都是平均分，除法算式相同”；其不同點(diǎn)在于“ ① 平均分的方式不同，情境1是均勻地分成若干份，即‘等分’，而情境3是求‘12里包含幾個(gè)3’，即‘包含分’； ② 算式表示的含義不同，平均分的結(jié)果不同，減法算式和數(shù)量關(guān)系也不同，即情境1是已知總數(shù)和份數(shù)，求每份數(shù)，而情境3是已知總數(shù)和每份數(shù)，求份數(shù)”。對(duì)比情境2和情境3，學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們的相同點(diǎn)在于“減法算式相同，都是平均分，都用除法計(jì)算，并且分的結(jié)果相同”；不同之處在于“平均分的方式不同，算式表示的含義不同，數(shù)量關(guān)系也就不同”。

3.回歸生活，發(fā)展思維

為發(fā)散學(xué)生思維，達(dá)到學(xué)以致用的目的，筆者布置如下2道練習(xí)題。

第1題：仿照上述情境，從 1 2 ÷ 3 = 4 和 1 2 ÷ 4 = 3 中任選一道，創(chuàng)編幾個(gè)不同的除法故事。以 1 2 ÷ 3 = 4 為例，學(xué)生聯(lián)系真實(shí)生活情境，結(jié)合除法的含義，編出了多樣的數(shù)學(xué)故事： ①1 2 個(gè)小朋友玩游戲，每3人為一組，可以分成4組； ② 將12顆糖平均分給3個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友分得4顆； ③ 明明要讀12頁(yè)書(shū)，每天讀3頁(yè)，需要讀4天； ④ 將12朵花插到3個(gè)花瓶里，每個(gè)花瓶里的花一樣多，可以插4個(gè)花瓶。筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所編的故事進(jìn)行分類(lèi)。學(xué)生將 ①③ 歸為“包含除”， ②④ 歸為“等分除”。筆者追問(wèn)：為什么故事內(nèi)容不同，卻都能用同一道除法算式表示呢？受此啟發(fā)，學(xué)生感悟到除法算式的簡(jiǎn)潔性與除法意義的豐富性。

第2題：根據(jù)圖2自主提出與加減乘除有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并列式解決。

有的學(xué)生從“合”的角度提出“一共有多少顆草莓？”，并列出算式 5 + 5 = 1 0 或 5 × 2 = 1 0 。有的學(xué)生從“分”的角度提出諸多數(shù)學(xué)問(wèn)題并解答： ① 一共有10顆草莓，第一盤(pán)有5顆，第二盤(pán)有幾顆？（10-5=5）。② 一共有10顆草莓，每5顆裝一盤(pán)，可以裝幾盤(pán)？0 1 0 ÷ 5 = 2 。 ③ 一共有10顆草莓，平均放到2個(gè)盤(pán)里，每個(gè)盤(pán)里放幾顆？（ 1 0 ÷ 2 = 5 。最后，筆者引導(dǎo)學(xué)生尋找上述算式之間的聯(lián)系。學(xué)生通過(guò)小組交流，發(fā)現(xiàn)除法是減法的簡(jiǎn)化運(yùn)算，是乘法的逆運(yùn)算。

（作者單位：武漢市光谷豹子溪小學(xué)）