一道填空壓軸題的變式與推廣

對試題進行變式與推廣，是訓練數學思維的有力手段，有利于發展學生的思維，提升學生核心素養.現以本校一道中考模擬填空壓軸題為例，探討數學問題的變式與推廣.

1問題再現

例如圖1，已知點 P 是正方形 A B C D 外的一點， P A=3 ，P B=4 ，那么 P C 的最大值是_

解析：如圖2，過點 B 作B E⊥ B P ，且 B E=P B .連接 A E P E，P C ，則

因為 ，所以∠ A B E=∠ C B P

在 Δ A B E 和 Δ C B P 中， ，所以 AS），則 A E=P C

當點 A，P，E 三點共線時， A E 最大，此時 A E=

所以 P C 的最大值是

點評：本題實際構造了“手拉手模型”之“共直角頂點的雙等腰直角三角形模型”，即 RtΔ A B C ，RtΔ P B E ，然后得到一組全等三角形，即 Δ A B E？ Δ C B P ，從而將線段 P C 轉化到另一個三角形中，考查了正方形的性質、旋轉變換、全等三角形等知識.

2變式探究

變式1如圖3，已知點 P 是正方形 A B C D 外的一點， P A=3，P B=4 ，求 P D 的最大值.

解析：如圖4，過點 A 作 A E⊥ A P ，在 A E 上截取A E=A P ，連接 P E，B E ，由四邊形 A B C D 是正方形，得 A D=A B ，所以 ∠ P A D=∠ E A B

在 Δ E A B 和 Δ P A D 中， ，所以可得 Δ E A B？Δ P A D（SA S），所以有 P D=B E

當 三點共線時， B E 最大，此時 B E=4+ .

點評：本題構造了“手拉手模型”之“共直角頂點的雙等腰直角三角形”，即 RtΔ E P A 和 RtΔ A B D ，然后得到一組全等三角形，即 Δ E A B？Δ P A D ，當 E ，P，B 三點共線時， B E 最大，此時

通過變式1，可以進行一般性推廣：如圖3，已知點 P 是正方形ABCD外的一點， P A=a，P B=b ，則P D 的最大值為

變式2如圖5，已知 P 是正方形 A B C D 外的一點，對角線A C，B D 相交于點 O ，且 P A=3 ，P B=4 ，求 P O 的最大值.

解析：如圖6所示，過點 o 作 ，在 上截取 ，連接 ，因為四邊形ABCD是正方形，所以 O A=O B ， ，所以 .

在△POB和 中，有 ，所 ，

以 （SAS），所以

當點 在同一直線上時， 最大，此時

因為 是等腰直角三角形，則 ，所以 P O 的最大值為

點評：本題的解答思路與原題、變式1的解答思路如出一轍，即構造“手拉手模型”之“共直角頂點的雙等腰直角三角形”，在這樣的圖形里必然有全等三角形存在，從而將已知線段與所求線段轉化到同一個三角形中.

通過變式2，可以進行一般性推廣：如圖5，已知P A=a P B=b ，則 P O 的最大值是

變式3如圖 7，P 是等邊三角形 A B C 外的一點 ？ P A=3，P B=4 ，求 P C 的最大值.

解析：如圖8，以 P B 為一邊作等邊三角形 P B E 所以 P B=E B 因為 Δ A B C 是等邊三角形，所以 A B=B C 所以 ∠ E B A=∠ P B C

在△EAB和△PBC中， ，所以 ，所以 P C=A E

當點 E，P，A 在同一直線上時， A E 最大，此時A E=7

所以 P C 的最大值是7.

點評：此題構造的模型仍是“手拉手模型”，但與前面不同的是構造了“共一個頂點的雙等邊三角形”，從而也得到了全等三角形，將所求線段與已知線段轉化在同一直線上.

通過變式3，可以進行一般性推廣：如圖 7，P 是等邊三角形ABC外的一點， P A=a，P B=b ，則 P C 的最大值是 a+b

變式4如圖 是正 n 邊形 A B C D？ E 外的一點， P A=a P B=b ，求 P C，P E 的最大值.

解析：如圖10，作 ∠ P B G=∠ A B C ，在 B G 上截取B G=P B ，連接 P G，A G ，根據邊角邊定理，易得到 ，所以 P C=A G

當點 A，P，G 在同一直線上時， A G 最大，最大值為 A P+P G

因為 Δ P B G 是等腰三角形，其頂角 ∠ P B G= ，過點 B 作 P G 的垂線交 P G 于點 M ，則 ，所以 從而

所以 P C 的最大值為

按相同的解題思路，易得 P E 的最大值為 b+2a ·sin

3啟示與思考

一道壓軸題有很多可開發的價值，解題時不能就題論題，要對試題進行變式與推廣，從特殊走向一般，看能否得到一般化的結論，以優化學生的認知結構，發展學生的思維，提升學生的核心素養.

通過本題的探究，我們至少可以得到以下兩點啟示：

（1）關注對壓軸試題的深度開發.和學生一起探討試題解答的通性通法，開發出試題隱藏的潛在價值，以此提高學生思維的廣度與深度，當學生再遇到此類試題時能輕松應對，不斷提高解題能力[2]

（2）關注對壓軸題的解后反思.通過反思與拓展，系統回顧解答過程中所使用的知識點及解決方案，剝離表面的干擾因素，發現試題的本質所在，開展多角度探究，提升學生的思維能力與核心素養[3].

參考文獻：

[1]郭曉梅.初中數學習題變式教學實踐與思考[J].中學數學教學參考，2024（27）：47-48.

[2]楊雅淇.指向核心素養的初中數學深度學習案例開發研究[D].寧夏大學，2022.DOI：10.27257/d.cnki.gnxhc.2022.001942.

[3]袁媛.問題溯源解析，解后反思總結 —以一道圓的綜合題為例[J].中學數學，2022（6）：41-43.