新課標背景下圓中輔助線添加方法初探

教育部2022年頒布的《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）要求：理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，探索并證明垂徑定理；探索圓周角與圓心角及其所對弧的關系，了解并證明圓周角定理及其推論，了解內心與外心；掌握切線的概念[1-2]；等等.實際上，我們在課堂教學中接觸的與圓相關的數學問題是新課標要求的載體，我們常見的習題、例題及質量評估測試題是新課標要求的具體化.中考模擬題及中考真題中與圓相關，并且需要添加輔助線后才能解決問題，一般都是壓軸題.由于輔助線添加方法的靈活性，導致學生對這類問題產生畏懼心理，甚至達到談題“色”變的程度，致使這種問題總被認定為是難題，成為大家關注的熱點問題3.為解決大家心頭之憂，以下擬結合精選的典型例題分類分享針對此類問題輔助線添加的幾種方法，期盼能助你一臂之力.

1圓中遇弦，可添半徑

案例1如圖1，半徑為 R 的 ？ I 的弦 E F=D G ， 且 E F⊥ D G 于點 H ，連接 E D，D F ，若 ，則 半徑 R 的長為（ ）.

C.46 D.4√3

分析：如圖2所示，由已知中的等弦，可知 ；由互相垂直的弦，可知 ∠ E H D 是直角，所以 Δ E H D 是等腰直角三角形.于是可知 ，由圓周角定理知 ；由勾股定理即可求得半徑 I D 的長.

解：如圖2，連接 E G，I D，I F ，則 ∠ I D F=∠ I F D 因為 E F=D G ，所以 ∠ E D F=∠ D E G 又 ∠ D F E= ∠ D G E ，則 Δ E D F？Δ D E G ，所以 ，所以 ∠ D E F=∠ E D G .

因為 E F⊥ D G ，所以

于是 ，所以 ∠ D E F= .由圓周角定理，可得

在 RtΔ I D F 中，由勾股定理得 即 ，所以 .故選：B.

點撥：熟悉同圓中等弧、等弦及相等的圓心角、圓 周角之間的關系是求解的基礎；在圓中遇弦求半徑或 直徑，添加的輔助線首選添半徑.

2圓中遇直徑，構造圓周角

案例2如圖3，在DEF中， E F=D F=4 ，以 E F 為直徑的 ？ I 分別交 D F 和 D E 于點 G，H ，且 D G=F G

（1）求證： D E=D F （2）求 H G 的長.

分析：如圖4，由 E F 是直徑可想到連接 E G 和F H 構造直角，聯系 D G=F G 可證 Δ E G D 與 Δ E G F 全等，于是可證 E D=E F ，結合 E F=D F ，即可證E D=D F

（2）由（1）中 D E=D F 知 Δ D E F 是等邊三角形，因為 ，所以 F H 是 D E 邊上的中線，于是可知 H 為 D E 的中點，所以 H G 是 Δ D E F 的中位線，從而

（1）證明：連接 E G，F H ，則 在△EGD和 Δ E G F 中， ，所以Δ E G D？Δ E G F（SAS） ，則 E D=E F

又因為 E F=D F ，所以 D E=D F

（2）解：因為 D E=D F，E F=D F ，所以 Δ D E F 是等邊三角形.因為 ，所以 F H 是 Δ D E F 的邊 D E 上的中線，所以 H 是 D E 的中點.

因為 D G=F G ，所以 G 是 D F 的中點.所以 H G 是△DEF的中位線，則 ，即H G 的長為2.

點撥：等腰三角形三線合一的性質、直徑所對的圓周角是直角、中位線的判定與中位線定理、全等三角形的判定定定理“SAS”是此題證明和解答的基礎.在圓中遇到直徑，首先想到構造直角是關鍵.

3遇到內心，需要連頂點

案例3如圖 是XYZ的內心， Y Z=8cm ，X Y=6cm，X Z=4cm ，將 ∠ Y X Z 平移，使其頂點與點o 重合，則圖中陰影部分的周長為（ ）.

$＼mathrm{A.2＼cm}$ C.6cm $＼mathrm{{D.8＼cm}}$

分析：（1）如圖6，由 o 是內∴ ，可想到 O 是 Δ X Y Z 三個內角平分線的交點，連接 O Y，O Z ，可知 ∠ O Y X=∠ O Y R ∠ O Z X=∠ O Z S ；由平移的意義知， O R//X Y，O S//X Z ；由“兩直線平行，內錯角相等”和“等角對等邊”，可推知 Y R=O R ， Z S=O S. 于是，陰影部分的周長可求.

解：如圖6，連接 O Y，O Z ，則∠ O Y X=∠ O Y R ，且 ∠ O Z X=∠ O Z S 由平移的性質知 O R//X Y ，所以 ∠ O Y X=∠ Y O R ，∠ O Z X=∠ Z O S

于是 ∠ O Y R=∠ Y O R，∠ O Z S=∠ Z O S.

所以 Y R=O R ， Z S=O S

故 即陰影部分的周長為 8cm. 故選答案：D.

點撥：此題求解的基礎是熟知內心的定義、平移及平行線的性質，等角對等邊和等量代換思想.關鍵是遇到內心，首先想到連接三角形的頂點這種添加輔助線的方法.

4遇到切線，連接切點和圓心

案例4如圖7，在四邊形 H I E F 中， H F//I E ，E F⊥ I E ，以點 E 為圓心， E F 為半徑的弧剛好與 相切，切點為 G 如果 ，則 sinI的值為（ ）.

A

分析：如圖8，由題意易知 ∠ F E I 是直角；由 H I 與？ E 相切于點 G ，可想到連接 G E ，進而可證 ∠ E G H= ∠ E F H，Δ E G HΔ E F H ；由 ∠ I H E=∠ I E H 可推出I E=I H ；如果設 H F=n ，則 I H=I E=3n ；當推出 I G= 2n 時，由勾股定理可得 于是 的值可求.

解：如圖8，連接 G E ，則 E G=E F

因為 H F//I E ，所以 ∠ F H E=∠ I E H 因為 H F//I E，E F⊥ I E ，所以

I 在 RtΔ E G H 和 RtΔ E F H 中 所以

所以 ∠ I H E=∠ F H E，H G=H F .

所以 ∠ I H E=∠ I E H ，所以 I E=I H

設 H F=n ，因為 ，則 IH=IE = 3n，I G=I H-H G=3n-n=2n.

在 中，由勾股定理得 ，于是sin 故選答案：C.

點撥：此題求解的基礎是切線的性質、平行線的 性質、相等的傳遞性、等角對等邊、勾股定理等.關鍵是 遇到切線，要首先想到連接切點和圓心.

其實，在解和證與圓相關的問題時，除了上面分享的4種輔助線作法，還可以“遇弦添加弦心距”“遇內心作三角形三邊的垂線”等.應該明白，輔助線是連接題設和所求的紐帶和橋梁，恰當的輔助線的添加和圖形構造，依賴于對與圓相關的定義、定理、性質的扎實掌握，依賴于對問題已知和求證的準確理解.我們應該把功夫下在獲得“四基”（基礎知識、基本技能、基本活動經驗和基本思想方法），發展“四能”（發現、提出、分析和解決問題的能力），樹立正確的價值觀，勇于探索，敢于創新，立志作數學教育之達人[！

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]邵新虎.利用幾何畫板探究數學解題模型M.北京：北京師范大學出版社，2019.

[3]波利亞.怎樣解題（數學思維的新方法）[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2002.

[4]單博.解題漫談[M].上海：上海教育出版社，2016.