二次函數中等腰三角形存在性問題的分類解析

二次函數是初中數學的重點和難點.一些習題常和等腰三角形知識結合起來設問，難度較大，能很好地考查學生綜合分析、解決問題的能力.在解題的過程中，應注重聯系對應知識點，畫出對應的圖形，通過數形結合厘清線段、角度之間的內在聯系，進行計算求解，做出正確判斷.

1未指明腰和底

在該類問題情境中，只給出三角形為等腰三角形，并未指明腰和底.在進行判斷時，應結合等腰三角形與二次函數圖象間的關系進行分類討論.在討論的過程中，如沒有涉及角度，通常運用等腰三角形的性質、兩點間的距離公式構建方程進行求解.

例1如圖1，直線 y=x-3 與 x 軸、 y 軸分別交于點 B，C ，經過 兩點的拋物線 m x+n 與 x 軸的另一個交點為A ，頂點為 P

（1）求 3m+n 的值.

（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點 Q ，使以C，P，Q 為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點 Q 的坐標；若不存在，請說明理由.

2指明腰或底

該類問題情境指明等腰三角形的腰或底，但是一些習題并不會因此而變得簡單，解題時仍需要認真對待.首先，在審題的過程中，應明確所給已知條件的目的，充分運用已知條件建立線段之間的關系[.其次，解題時應實事求是，針對各種可能的情況進行分析、推理.

例2如圖3，拋物線與 x 軸交于 A，B 兩點，與y 軸交于點 C（0，-2） ，點A 的坐標是 （2，0），P 為拋物線上的一個動點，過點 P 作 P D⊥ x 軸于點 D ，交直線 B C 于點 E ，拋物線的對稱軸為直線 x=-1 （1）求拋物線的函數表達式.

（2）點 P 在第二象限，且 ，若 M 為直線 B C 上一點且在 x 軸的上方，是否存在點 M ，使Δ B D M 是以 B D 為腰的等腰三角形？若存在，求出點 M 的坐標；若不存在，請說明理由.

3指明角度

該類問題情境一般給出等腰三角形的某一角度，要求判斷對應的等腰三角形是否存在.而所給的角度一般較特殊，方便運用銳角三角函數進行計算3.解答該類問題時，不僅需要靈活運用基礎知識，還需要聯系、運用對應的解題經驗做出準確的判斷.

綜上所述，通過討論二次函數背景下等腰三角形的存在性問題不難看出，無論哪種問題情境，均兼顧基礎知識及能力的考查，其中基礎知識包括二次函數表達式的求法、二次函數圖象的畫法及二次函數的性質、等腰三角形的性質.在能力層面，需要具備良好的畫圖能力、分類討論能力、計算能力等.

參考文獻：

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[2]滕麗.二次函數與等腰三角形結合的解題策略—基于分類討論思想J」.數理天地（初中版），2022（11）：69-70.

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