撥亂反正”之垂直平分線的判定

談到“垂直平分線”，其性質(zhì)、判定定理和尺規(guī)作圖不得不提起，畢竟這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)都是中考命題的熱點(diǎn)，可與初中數(shù)學(xué)其他知識(shí)融合起來(lái)形成綜合題.然而，通過(guò)批改作業(yè)，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在理解和應(yīng)用垂直平分線的判定時(shí)存在問(wèn)題.基于此，筆者重點(diǎn)分析學(xué)生在理解垂直平分線的判定時(shí)產(chǎn)生的錯(cuò)誤，并嘗試在實(shí)踐中幫助學(xué)生糾錯(cuò).

1引例及錯(cuò)解呈現(xiàn)

引例如圖1所示，四邊形ABCD的對(duì)角線 A C，B D 相交于點(diǎn) O，A B=A D ，請(qǐng)你添加一個(gè)邊或角的條件，使得直線 A C 是線段BD的垂直平分線.

（1）添加的條件是_________

（2）根據(jù)已知及添加的條件證明：直線AC是線 段BD的垂直平分線.

本題難度不大，第（1）小題屬于開(kāi)放題，比較簡(jiǎn)單，第（2）小題需根據(jù)第（1）小題添加的條件證明垂直平分線.

下面來(lái)看某學(xué)生作業(yè)的完成情況：

2錯(cuò)解分析

從學(xué)生的解題過(guò)程來(lái)看，第（1）小題沒(méi)有問(wèn)題，錯(cuò)在第（2）小題，具體錯(cuò)在由“點(diǎn) A 在線段BD的垂直平分線上”判定“直線 A C 是線段 B D 的垂直平分線”

垂直平分線的判定定理是“到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上”，但據(jù)此定理只能判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上，并不能直接由“一個(gè)點(diǎn)在垂直平分線上”就判斷“過(guò)該點(diǎn)的直線就是線段的垂直平分線\"1].

如圖2所示，點(diǎn) o 是線段 外的一點(diǎn)，并且O A=O B ，那么過(guò)點(diǎn) o 的直線是否就是線段 ∣ A B 的垂直平分線？通過(guò)作圖（如圖3）發(fā)現(xiàn)，這樣的直線有無(wú)數(shù)條，并非全是線段 A B 的垂直平分線.

所以，一個(gè)點(diǎn)在線段的垂直平分線上，并不意味著過(guò)這個(gè)點(diǎn)的直線就是該線段的垂直平分線.

3課堂糾錯(cuò)及正解

發(fā)現(xiàn)了學(xué)生存在的問(wèn)題后，基于該問(wèn)題比較典型，筆者在課堂上幫助學(xué)生糾錯(cuò).

師：同學(xué)們，怎樣判定一條線段的垂直平分線呢？生：根據(jù)垂直平分線的判定定理.

師：那么我們一起來(lái)看看垂直平分線的判定.（師生一起回顧垂直平分線的判定定理.）

師：你們認(rèn)為這個(gè)判定定理中的關(guān)鍵詞是什么？生1：我認(rèn)為是“到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等”生2：我認(rèn)為是“到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)”生3：我認(rèn)為還有“線段”

生4：我認(rèn)為關(guān)鍵詞還有“在垂直平分線上”

師：同學(xué)們說(shuō)得非常好，你們的眼睛真是雪亮.那請(qǐng)你們用聰明的大腦思考“如果到一條線段兩端距離相等的點(diǎn)存在，那么過(guò)這個(gè)點(diǎn)的直線一定是這條線段的垂直平分線嗎？”

（學(xué)生思考.）

生5：是.

生6：不是，因?yàn)檫^(guò)一個(gè)點(diǎn)的直線有無(wú)數(shù)條，這些直線不一定就是這條線段的垂直平分線.

師：我們現(xiàn)在來(lái)看圖1，過(guò)點(diǎn) O 你能畫(huà)出多少條直線？

生：無(wú)數(shù)條.

師：（出示圖3）那么哪一條是線段 的垂直平分線呢？

（教師看著生5）

生5：有無(wú)數(shù)條直線，但其中只有一條是線段 的垂直平分線.

師：那么如何確定這條直線呢？

生6：兩點(diǎn)確定一條直線.

師：也就是說(shuō).....

生：要找到另外一個(gè)點(diǎn)也在這條直線上.

師：對(duì).

經(jīng)過(guò)引導(dǎo)后，學(xué)生認(rèn)識(shí)到了不能認(rèn)為“一個(gè)點(diǎn)在線段垂直平分線上”就說(shuō)“過(guò)該點(diǎn)的直線就是線段的垂直平分線”

于是，對(duì)第（2）小題進(jìn)行了如下訂正：

4總結(jié)

經(jīng)過(guò)課堂糾錯(cuò)后，學(xué)生對(duì)垂直平分線的判定有了更深入的認(rèn)識(shí)，知道了以往解題中所出現(xiàn)的錯(cuò)誤，并知道了如何改正.

在此，筆者認(rèn)為要準(zhǔn)確應(yīng)用垂直平分線的判定，還需要注意以下幾個(gè)方面：

首先，垂直平分線的判定只能判斷一個(gè)點(diǎn)是否在垂直平分線上，而不能判斷過(guò)該點(diǎn)的直線就是該線段的垂直平分線.要想判斷過(guò)該點(diǎn)的直線是該線段的垂直平分線，還需要再確定一個(gè)點(diǎn)也在該直線上.

以引例第（2）小題為例，正確的解題思路應(yīng)如圖4所示：

其次，垂直平分線是一條直線，這一點(diǎn)學(xué)生也極易忽略[]，在引例中，不能稱(chēng) A C 為線段BD的垂直平分線，而應(yīng)稱(chēng)“直線 A C ”或“ A C 所在的直線”為線段BD的垂直平分線.之所以如此，是因?yàn)橹本€和線段的屬性及特點(diǎn)存在差異，垂直平分線是直線，而AC是線段，二者不可混為一談.在日常教學(xué)中，教師應(yīng)及時(shí)糾正學(xué)生這一錯(cuò)誤描述，以準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明的語(yǔ)言去闡述分析及解決問(wèn)題的過(guò)程.

最后，到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，一定在這兩點(diǎn)所連線段的垂直平分線上[3.這一點(diǎn)既是垂直平分線性質(zhì)的直接體現(xiàn)，也是學(xué)生用以分析和解決實(shí)際問(wèn)題的重要理論依據(jù).在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)給予學(xué)生更多的時(shí)間和空間，讓學(xué)生能更自主、更深人地利用該理論分析和解決實(shí)際問(wèn)題.只有這樣，學(xué)生才能對(duì)所學(xué)理論知識(shí)產(chǎn)生更深刻的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而更有效地學(xué)以致用.

5練習(xí)鞏固

為了讓學(xué)生鞏固本節(jié)課中對(duì)垂直平分線的正確理解，筆者建議教師可布置下面兩道練習(xí)題供學(xué)生訓(xùn)練：

習(xí)題1如圖4，在 Δ A B C 中， A D 是高，點(diǎn) E 在線段BC的垂直平分線上，連接 B E ，交 A D 于點(diǎn) F .

求證：點(diǎn) E 在線段 A F 的垂 直平分線上.

習(xí)題2如圖5，在 Δ A B C 中， ， A D 平分∠ B A C，D E⊥ A B 于點(diǎn) E .

求證：直線 A D 是線段 C E 的 垂直平分線.

垂直平分線的判定定理是初中幾何部分非常重要的知識(shí)，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)學(xué)生極易出現(xiàn)本文中所展示的錯(cuò)誤.教師應(yīng)及時(shí)糾正，并匹配相應(yīng)的習(xí)題以鞏固所學(xué).這樣一來(lái)，才能及時(shí)“撥亂反正”，查缺補(bǔ)漏.

參考文獻(xiàn)：

[1]肖建軍.編織出清晰的教學(xué)主線—“線段的垂直平分線\"教學(xué)的思考[J].中外交流，2018（50）：158-159.

[2]張遠(yuǎn)琴.在思考中成長(zhǎng)—《線段垂直平分線的性質(zhì)》教學(xué)反思[J].新課程（中學(xué)），2013（10），100.

[3]葉一莎，馮濤.利用課堂觀察數(shù)據(jù)進(jìn)行新基礎(chǔ)教育教學(xué)研究—以《線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定》的初建課、重建課為例[J].中國(guó)教育信息化，2018（4）：15-17.