一題多解提升思維 一題多變發展素養

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》發布后，數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析這六大數學核心素養的落地實施，在教育界引發了廣泛關注.普遍共識認為，積累數學思維經驗、提升思維能力，是形成這些核心素養的重要途徑.數學問題作為思維的載體，在解題過程中往往涉及多個核心素養的運用，因此解題教學成為提升思維能力的重要手段.其中，“一題多解”教學因能揭示解題的普遍規律，并對學生思維培養具有顯著效果，而備受推崇.我們以“一題多解”與“一題多變”為視角，結合2020年高考數學新高考Ⅱ卷第17題的具體案例，深入探討了解題教學中的思維與素養并進策略.通過分析該題目的不同解法及其變式，我們旨在揭示如何通過一題多解與一題多變的教學實踐，既提升學生的解題能力，又培養他們的數學核心素養，從而促進學生思維品質的全面提升。

一、試題呈現

題目（2020年全國 卷）在 Δ A B C 中， （1）求 A ；（2）若 B C = 3，求 Δ A B C 周長的最大值.

分析主要考查了三角形的性質、正弦定理、余弦定理的應用，以及不等式、三角函數和最值問題的求解技巧.第一小題由正弦定理知 = b c 而得 第二小題在三角形中范圍（最值）求解問題，是高考數學中的常見題型，它要求考生根據已知的一角一邊或一角一邊關系，求解三角形的周長最值，學生需要深人理解三角形的邊角關系，通過邏輯推理和數學建模，能夠靈活運用正弦定理和余弦定理將已知條件轉化為關于邊或角的函數關系通過不等式和函數最值求解，也可以利用數形結合等方法，求解三角形中范圍（最值）問題.本文主要探究第（2）問。

二、一題多解提升思維

解法一 （化角為邊）由余弦定理知 即 ，得 ，即 b + c ？ ，當且僅當 時“ ”成立，所以 Δ A B C 周長的最大值為

評注利用余弦定理將三角形的一邊及其對角關系轉化為邊的表達式，然后通過代數運算求解最值.這種解法直接體現了“化角為邊”的思想，將復雜的邊角關系轉化為更易處理的邊長關系.

解法二 （化邊為角）由正弦定理知 ，所以 ， ，則

因為 ，所以 所以 即 時， b + c 取最大值 ，故Δ A B C 周長的最大值為

評注采用正弦定理將三角形的邊長（ A B 和A C ）轉化為角度（角 B ）的函數，利用三角函數的性質（正弦函數的有界性和單調性）求解最值.這種方法在處理三角形的邊長、周長等問題時尤為有效，因為它能夠直接建立起邊長和角度之間的函數關系。

解法三 （數形結合）如

圖1，由正弦定理知

=2√3，點A在⊙0的劣

弧 中點時，此時以 B ， C 為焦

點的橢圓最圓，離心率 3-2

最小

Δ A B C 周長的最大值為

評注從幾何的角度出發，利用橢圓的性質求解三角形的周長最值.這種方法需要深入理解三角形的幾何性質，并能夠將其與橢圓等幾何圖形相聯系.在這個解法中，通過構造以 B ， C 為焦點的橢圓，并利用橢圓的性質（離心率越小，橢圓越圓）來求解三角形的周長最值。

解法三 （數形結合）如圖2，延長 B A 至 D ，使得 A C = A D ，連接 D C . ∠ D A C = π 1 Δ A D C 形， 由正弦定理知 ，所以點 D 在由 B C 和 ∠ B D C 確定的圓上，當 為該圓直徑端點時， B D 取最大值 ，即 b + c 取最大值 ，所以Δ A B C 周長的最大值為

評注通過構造輔助圖形（延長線段 B A 至 D ，使得 A C = A D ，并連接 D C ）將原問題轉化為更直觀的幾何問題.這種方法在處理三角形的面積、邊長等問題時非常有用，因為它可以通過直觀的圖形幫助我們理解和求解問題.在這個解法中，構造的輔助圖形使得原問題中的三角形 A B C 變為了一個正三角形和一個等腰三角形的組合，從而簡化了問題的求解。

三、一題多變發展素養

變式1 已知 Δ A B C 為銳角三角形， 且 ，則 Δ A B C 面積的取值范圍

解法一 （化角為邊）由余弦定理知 在銳角三角形 Δ A B C 中，角 為銳角， 由余弦定理知 得 αlt;2，所以S△ABC 所以 Δ A B C 面積的取值范圍為

評注通過余弦定理將角轉化為邊的關系，再結合銳角三角形的條件及基本不等式求出邊 和邊b 的關系，進而求出三角形面積的取值范圍.這種方法需要較強的代數運算能力和不等式求解技巧。

解法二 （化角為邊）在銳角三角形 Δ A B C 中，角 為銳角，所以 得三 所以 即 所以 得

2，經檢驗滿足題設條件

評注利用正弦函數的取值范圍求出角 A 和角 的取值范圍.通過正弦定理將角轉化為邊的關系，求出邊 和邊 b 的表達式.這種方法需要深入理解正弦定理和三角形的性質，及較強的三角函數運算能力.

解法三 （化邊為角）由 得 則 .因為 得 lt;2，所以 S△ABC

評注通過正弦定理求出邊 和邊 b 的表達式.利用正弦函數的單調性和有界性，求出邊 的取值范圍.最后，將邊長代入三角形面積公式，結合三角形的存在性條件（即兩邊之和大于第三邊），求出面積的取值范圍。

解法四 （數形結合）

如圖3，在 Δ A B E 中， ∠ A D B

且 在RT△ABD中，

（204號 圖3

在RT△ABE中，

銳角三角

C 在線段 D E （不含端點）上，

評注根據題目條件構造出相關的幾何圖形，如延長 B A 至 D ，連接 D C 等.然后，利用正弦定理和三角形的性質，求出相關邊長和角度的關系.最后，通過直觀的圖形和幾何背景，求出三角形面積的取值范圍.這種方法需要較強的空間想象能力和幾何直觀能力。

變式2 在 Δ A B C 中， 且 ，則 + 2 c 的最大值為

解法一（化邊為角）由正弦定理知 （20號 其中 θ 為銳角，且 由 得 .當 A + θ = （204號 時， 的最大值為

評注本題 的系數不同，利用余弦定理和基本不等式不好解決，將 a + 2 c 轉化為角 A 或角 的函數，便于求 最大值.

解法二 （化角為邊）由余弦定理知 ，化簡得 令， 2 c ，則 ，帶人上面的方程，整理得 因為關于 的方程有解，則 2 8 ？ 1 2 ≥ 0 ，可得 ，所以 的最大值為4

評注本題 的系數不同，利用余弦定理和基本不等式不好解決，利用換元法，令 t = a + 2 c ，最值轉化為關于 的方程 有解，利用判別式法求得 最大值.

解法三 （數形結合）如圖4，延長 C B 至 D ，使得 B D = 2 A B = 2 c ，連接 （20號 在 Δ A D C 中，由余弦定理知 ，又正弦定理知 sin ∠ A D B = 圖4 所以點 D 在由 A C 和∠ A D C 確定的圓上.在 Δ A D C 中，由正弦定 ，當 為該圓直行

C D 取最大值 ，所以 取最大值

評注利用數形結合求解本題的關鍵在于構造 B D ，使得 ，結合點 D 在由 A C 和∠ A D C 確定的圓上，利用圓的弦長不超過直徑，求得 最大值

解法四 （數形結合）如 B圖5，在 Δ A B C 中，由正弦定理知 0 0A C4，點 B 在由 A C 和 ∠ A B C 確定D的圓 上，在劣弧 中點作一點 D ，使得 C D = 2 A D ，連 圖5接 A D ， C D ，在 Δ A D C 中，由余弦定理知 得 C D = 2 A D （204號由托勒密定理知 A B ？ C D + A D ？ B C = A C · ，從而 化簡得 a + 2 c ？ ，當且僅當 B D 為圓 的直徑時，“ ”成立，所以 ，所以 取最大值

評注該解法關鍵是將 中 系數轉換為托勒密定理中圓內接四邊形點 D 的位置（ 2），再由托勒密定理得 ，結合點 D 在由 A C 和 ∠ A B C 確定的圓上，利用圓的弦長不超過直徑.求得 最大值.

四、教學啟示：高三二輪復習中的“一題多解”與“一題多變”策略

在高三數學二輪復習階段，面對復雜多變的數學問題和緊迫的備考時間，如何高效提升學生的數學關鍵能力成為教學的核心任務.結合“一題多解”與“一題多變”的教學策略，我們可以從中得出以下幾點深刻的教學啟示：

1.培養多元思維，促進解題靈活性：

在復習中，應加強一題多解的訓練，鼓勵學生從多個角度和途徑探索問題的解答.這不僅有助于拓寬學生的解題思路，使學生深人地理解數學問題的本質，提高解題的靈活性和準確性.通過對比不同解法，學生可以總結出最優解和解題技巧，提高解題效率和準確性.同時，歸納總結也有助于學生形成系統的知識體系，增強對數學問題的整體把握能力。

2.深化問題理解，揭示本質規律：

一題多變策略能夠幫助學生從不同維度和角度審視問題，深化對問題本質的理解.在復習過程中，教師應通過變換題目的條件、結論或形式，引導學生發現解題規律，提升他們的邏輯思維能力和遷移應用能力。

3.激發創新思維，培養自主學習能力：

通過一題多解與一題多變的訓練，學生可以學會獨立思考和自主分析，學會主動探索問題，勇于提出自己的見解和解決方案，為他們未來的學習和工作奠定堅實基礎。

數學通報問題2816號的證明與拓展

福建省福清第三中學 （350315） 何 燈何文昌

摘要本文對數學通報一道多元不等式問題進行了證明，并從指數、變量個數兩個方面對其進行了一般性拓展探究。

關鍵詞多元不等式；數學通報2816號問題；拓展

題目 （數學通報2024年第12期2816號）對于 以及正整數指數 n ？ 2 ，證明： +c2≥ an-1 （+%+b- ” +

本題通過次數的調整構造不等式，形式對稱且給人以啟發，本文給出此題的一個解答，并從指數。