一道解析幾何題的巧解及推廣

1.題目

如圖1，已知橢圓方程為 ，過點 P （ 2 ， 1 ） 的直線交橢圓于 兩點，過點 B 作斜率為 的直線交橢圓于另一點 c ，試探究直線 A C 是否過定點。

這道題目若用常規解法，計算非常復雜.本文將給出該題的幾個巧妙解法與推廣。

2.巧解

解法1設 ， ， 則 又 ，兩式相減得 （由 ① 得）， 又由 ① 得 ，代人 ② 整理得 直線 x + 2 y = 3 + λ 經過點 B ，又其斜率為 ，故直線 B C 的方程為 x + 2 y = （20 3 + λ

設點 的中點 ，由 相減得 （20號 ，又 在直線 B C 上）， 3+③.又由①得 代人 ③ 變形得 直線 A C 過定點

解法2 平移坐標系至橢圓右頂點 o ，則點 P 坐標為（0，1），橢圓方程為（x+2）2 ，即 設直線 A B 的方程為 m x + n y = 1 ，代人上式得 ，即 （20 0.

設直線 的斜率分別為 ，則 為關于 k 的一元二次方程 的兩根，： ：直線 的方程為（ 一

設直線 的斜率為 ，同理可得直線 B C 的方程為 的方程為 直線 A B 過 P （ 0 ， 又 變形得（204號 ，與直線 C A 的方程對比知， C A 過定點 ，在原坐標系中C A 過定點

解法3 先作仿射變換：令 則由題設得（如圖2）⊙0：x2+y2 = 1，P'（1，1），？？Bc = ， 垂直平分

連接 ， ，由 關于

圖2對稱及 知 o 四點共圓，： ∠ 4 = ∠ 5 = ∠ 6 . 又 " ，直線 過定點 ：直線A C 過定點

2.推廣

已知曲線 ，過定點P （ m ， n ） （ m n ≠ 0 ，點 P 不在曲線上）的直線交曲線于 A ， B 兩點，過點 B 作斜率為 的直線交曲線于另一點 c ，求證：直線 A C 過定點.

證明 設 則 ，又 ，兩式相減得 λ .又由 ④ 得 ，代人上式整理得 λ ） r ，其中 ，直線 2 a m x + 2 b n y = 1 - λ + （ 1 + λ ） r 經過點 B ，又其斜率為 ：直線 B C 的方程為 2 a m x + 2 b n y = 1 - λ + （ 1 + λ ） r . （20號

設點 的中點 ，由 與 相減得 又由 D 在直線 B C 上得 ，由 ⑤ ⑥ 消去 得 （204號 又由 ④ 得 m （ 1 + λ ） （20號 ，同理由 ⑤ ⑥ 消去 得 直線 A C 過定點 ，即。