一道解三角形問題的多角度探究

在新教材背景中，解三角形知識成為平面向量中的一類基本應用問題，是同時擁有“數”與“形”的一類綜合問題，可以巧妙融合初、高中階段的基礎知識，交匯高中階段中的不同知識模塊之間的聯系，成為充分落實新課標中“在知識交匯點處命題”的指導思想的一個重要考點，倍受各方關注。

1.問題呈現

題目（2024年南京師大附中高三（下）聯考）在 Δ A B C 中，已知 分別為角 的對邊.若 =3c05C，且cos（A-B） =-√， ，則 （ ）.

（204號 A. B. C D. 或

此題以三角形為問題背景，結合三角形中角與邊的確定，利用相關邊與角的關系式構建以及對應角三角函數值的確定來創設場景，進而求解相關角的余弦值，融入眾多的三角函數知識與對應的公式，給問題的切入與求解創造更多的難度。

2.解法探析

解法1 （解三角形 三角恒等變換公式法）由 =3cosC，利用余弦定理可得2+b2 （20號 整理可得 .利用正弦定理有 ，結合二倍角公式的變式有

+ B ） cos （ A - B ） = 1 + cos C cos （ A - B ） 。

得 ，整理 ，即 ，亦即 由 可得 ，故選 C

評注根據題設關系式，利用解三角形思想中的余弦定理與正弦定理等進行統一化思維，合理對角進行分拆處理，借助兩角和與差的余弦公式來轉化與變形，給進一步方程的構建與求解創造條件.一般地，直接利用三角恒等變換公式來處理三角函數關系式時，要巧妙對相應的角進行必要的配湊、拆分等處理，聯系題設條件中的角與結論所求中的角之間的關系，創造條件，形成鏈接。

解法2 （解三角形 和差化積公式法）由 ，利用余弦定理可得 ，整理可得 .利用正弦定理有 ，結合二倍角公式的變式有 ，即 （204號

借助和差化積公式得 B）cos（A-B）-2 =0，結合cos（A-B） =-√， Cos（A +B）= -cosC得3cos2C-√3c ，即

，亦即 從而由 2可得 ，故選 $C _ { ☉ }$

解法3 （解三角形 積化和差公式法）由 ，整理得 （20號

利用余弦定理得 （20abcos C ，利用正弦定理有 借助積化和差公式可得 - cos（A-B）]cosC，又cos（A-B）=-√， 6，cos（A+B）=- cosC，可得3cos2C-√c ，即 ，亦即 從而由 2可得 ，故選

評注解法2，解法3中借助和差化積公式或積化和差公式的轉化來構建相應的方程，給三角函數值的求解提供條件.而涉及和差化積公式或積化和差公式可以作為輔助公式優化一些解題的過程，提升解題速度。

3.變式拓展

變式1 在 Δ A B C 中，已知 分別為角 A B，C的對邊.若號+2b ，則

析解 由 ，結合余弦定理可得 ，整理

所以結合正弦定理與余弦定理的應用得

變式2 在 Δ A B C 中，已知 分別為角 A ，

B，C的對邊.若 ， 則cosB

析解 由 ：3cosC，結合余弦定理得 整理得 而由 可得 0 （204號所以結合正弦定理與余弦定理得 ，整理得 由 ① ② 可得 ，所以

變式3 在 Δ A B C 中，已知 分別為角 A 的對邊.若 ，且 cos （ A - B ） = 則

析解 以上部分同原問題的解析過程可得 結合C∈（0，π），可得C=。

4.教學啟示

解三角形問題的情境應用與綜合問題，往往可以有效融合解三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等，以及初中階段中的平面幾何相關定理與公式，同時又融合高中階段三角函數中的三角恒等變換公式以及其他的一些相關公式等，成為解三角形中“數”的內涵的一個全面深入與拓展空間，合理加以數學運算與邏輯推理的應用，實現問題的巧妙轉化與應用。

涉及解三角形中相關問題的綜合應用，根據題設條件中的關系式及其相應的結論特征，合理抓住涉及三角形邊與角的關系式，回歸問題的本質，或直接轉化，或合理配湊，巧妙將相關的解三角形、三角函數等知識巧妙地滲透與融合進去，合理優化解題過程，巧妙拓展數學思維，有效簡化數學運算過程，提升數學解題效益，真正起到事半功倍的神奇效果，值得深入推廣與拓展應用。