觀察式子結構特征，巧解幾類競賽試題

高中數學競賽試題有些具有明顯的結構特征，這種結構特征實質上暗示了解題思路的突破口，只要我們細心地通過觀察、直覺、想象、類比，分析題目的深層結構，就不難尋找到解決問題的切入點.本文舉例說明，供讀者參考。

1.觀察結構特征，借用幾何圖形

通過觀察條件代數式的特征，借用構造圖形構造合適的幾何圖形可達到解題目的。

例1（2023年全國高中數學聯賽新疆維吾爾自治區預賽試題）函數 的最小值為

解 可變形為 + .其表示拋物線 上的點 到兩定點 的距離之和，即 ，如圖1所示．過 P 作準線的垂線，垂足為 Q ，其中 F （ 1 ， 0 ） 為拋物線的焦點，由拋物線的定義得 ，∴f（x）= ，再過 A 作準線的垂線，垂足為 ，顯然在 三點共線，即 x = 2 ，時 （202

評注觀察函數 f （ x ） 中兩個根式的結構特征，不難讓我們聯想到兩點間的距離公式，于是將表達式 f （ x ） 轉化為動點 （，x）到兩定點F（1，0）、A （ 2 ， 2 ） 的距離之和，借用幾何圖形，問題迎刃而解。

例2（2020 年全國高中數學聯賽四川省預賽試題）設函數 （20號 ，則 f （ x ） 的最大值是

解 ，設點

，如圖2所示，點 P 在直線 上，又 B 關于直線 y = x 的對稱點為

，

∴ f （ x ） = ∣ P A ∣ -

5，當 三點共線時取等號...

評注觀察函數 f （ x ） 的結構形式是兩個根式的差，讓我們類比、聯想到一個動點到兩個定點距離的差，于是整理原函數式為 f （ x ） 使其表示直線 y 上的動點 到兩定點A（-5，4）和B （ 0 ， - 2 ） 距離的差，結合幾何圖形，問題得到解決。

2.觀察結構特征，采用三角換元

三角換元可以減少未知元的個數和冪次，使復雜的式子得到簡化，從而達到解決問題的目的。

例3（2012年全國高中數學聯賽新疆維吾爾自治區預賽試題）若實數x，滿足xy=5，則

解由已知 ，可設 tanβ，則x+y

評注 條件 的結構形式和三角恒等式中兩角差的正切公式是同出一轍的，于是讓我聯想到三角換元，問題順利得到突破。

3.觀察結構特征，巧用函數模型

構造函數模型就是構造與問題相關的函數，利用函數的性質或圖象，使問題快速得到解決。

例4（2017年全國高中數學聯賽湖南省預賽試題）已知函數 f （ x ） 滿足 f （ m + n ） = f （ m ） f （ n ） ， ，則 +

解符合 f （ m + n ） = f （ m ） f （ n ） 的函數原型為指數函數 ，且 ，又 f （ 1 ） = 3 ，∴a =3.于是f（x）= 3，：f（1D）+f（2） （204號

數形結合是以數思形，以形助數，數形對照，對用數形結合可使問題迅速地獲得解決

例5（2023年全國高中數學聯賽新疆維吾爾自治區預賽試題）若對任意的 x ∈ （ 0 ， + ∞ ） ，不等式 恒成立，則實數 的取值范圍是

解 ，即 對于任意的 x ∈ （ 0 ， + ∞ ） 恒成立，∴ a gt; 0，于是 ，

構造函數 當 x ∈ （ 0 ， + ∞ ） 時 單調遞增， 式轉化為 恒成立從而有 a （ e x + 1 ） ？ ，即 恒成立.

令 （20 當 t ∈ （ 1 ， e ） 時 遞增；當 t ∈ （ e ， + ∞ ） 時， 遞減，如圖3所示，所以當 時， l取唯一的極值，且為極大值，即為最大值，： 1.故a∈

評注由于不等式左邊是指數式，右邊是對數式，為了兩邊形式統一，考慮指、對數可互化，于是兩邊同乘ex+1（xgt;0），而右邊ex+1變為eln（ex+1），即變為 ，從而做到兩邊式子“和諧統一”.聯想構造函數 f （ x ） = ，再利用 f （ x ） 的單調性將原不等式簡化為 ，問題終于水落石出。

綜上，我們根據所研究問題的式子結構特征，運用類比、聯想、構造等方法，靈活地將問題遷移到新問題中去，從而尋找到解決問題的切入點，這種解題方式對培養學生創造性的思維能力，完善認知結構，提高數學素養都是大有裨益的。