一道拋物線內(nèi)三角切圓問題的求解探究

2021年高考全國(guó)甲卷第20題中以拋物線為載體，探討了拋物線內(nèi)三角切圓問題的一般證明，命題結(jié)構(gòu)優(yōu)美，改編題眾多．在近期模擬題中，一道涉及周長(zhǎng)與面積最值問題的求解或值得借鑒拓展。

1.題目呈現(xiàn)

（湖北省“宜荊荊恩”高三九月起點(diǎn)考試第11題）已知點(diǎn) P 是曲線 ${ ＼boldsymbol { ＼itGamma } } _ { ： ＼boldsymbol { y } ^ { 2 } } = { ＼boldsymbol { x } }$ 上任意一點(diǎn)，過點(diǎn) P 向圓 引兩條切線，這兩條切線與 的另一個(gè)交點(diǎn)分別為 ，則下列結(jié)論正確的有

A. B.直線 與圓 c 相切C．APAB的周長(zhǎng)的最小值為 D. 的面積的最小值為

分析選項(xiàng) A 只需要將點(diǎn) P 置于坐標(biāo)原點(diǎn) o 即可推出矛盾；選項(xiàng) B 即是借助同構(gòu)思想刻畫等量關(guān)系，求解圓心到直線的距離判斷位置關(guān)系，即源于高考真題的直接應(yīng)用；選項(xiàng) C 與 D 本質(zhì)相同，可先刻畫 Δ P A B 面積表達(dá)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值求解.故重點(diǎn)研究選項(xiàng) B 與 D 的證明。

2.試題解析

解析 不妨假設(shè)直線 P A 在圓的左側(cè)，直線 P B 在圓的右側(cè).如圖1所示，當(dāng)P A 斜率不存在時(shí)，有 ，不符合題意；

當(dāng) P B 斜率不存在時(shí)，有 ，直線 為

，易得直線與圓 c 相切，此時(shí) 的面積為

當(dāng) P A ， P B （20號(hào)

斜率均存在（如

圖2），設(shè)

P（t2，t）（t gt;0，t

≠1，√3），A（t2，

t） ·所以

直線 P A 的方程為 ，即 x 1 因?yàn)橹本€ P A 與圓 C 相切，所以1+（+2=1，即（2-Df2+2tt+-2=0.同理可得 所以 ， 為方程 的兩根，有

又直線 A B 的方程為 點(diǎn) c 到直線 的距離為

綜上，直線 與圓 c 相切，故 B 正確；

又 ，點(diǎn) P 到直線 A B 的距離為 所

令 設(shè) ，則 所以f（ m ） 在（-1，0）和 （ 2 ， + ∞ ） 上單調(diào)遞增，在（0，2）上單調(diào)遞減.又因?yàn)? 所以 f （ m ） gt; 2 7 所以

綜上， 的面積最小值為 故 D 正確

3.優(yōu)化求解

定理1[1] 已知拋物線 與 ，過拋物線 E 上任一點(diǎn) A 作 ？ M 的兩條切線，分別與 E 交于 兩點(diǎn)，則直線 B C 與 ？ M 相切的充要條件是 2 a （ m - r ）

上述求解過程中，直線 A B 與圓 c 相切位置關(guān)系的判別可簡(jiǎn)化為定理1的應(yīng)用.關(guān)于 面積的求解，我們可以從解三角形的視角借助內(nèi)切圓問題求解。

方法1從三條角平分線的交點(diǎn)為內(nèi)心切人，如圖3。

不妨設(shè) 圖3∠ P A B = 2 α 則 α + ，所以 即

由均值不等式得 ，即 則 Δ P A B 的面積 ，當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立.

在上述思路的啟發(fā)下，我們可以考慮結(jié)合海倫公式，用內(nèi)切圓半徑與周長(zhǎng)、面積的關(guān)系求解

方法2 記 的三邊長(zhǎng)分別為 ，由海倫公式可得 ，其中 ．結(jié)合內(nèi)切圓半徑與周長(zhǎng)，又有 特別地，當(dāng) 時(shí)， （204號(hào)

由均值不等式可得 b）（p-c）≤（p-a+p=b+p-）2=2， 所以 ，當(dāng) 時(shí)取等，即面積的最小值為 ，周長(zhǎng)的最小值為

4.一般拓展

若將半徑一般化，則有 （204號(hào) ，即 ，所以 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等.

由此，我們又可以得到一般推論：拋物線內(nèi)三角切圓的面積之比最小值為 即設(shè) A 是拋物線 上任意一點(diǎn)，過點(diǎn) A 作 $＼textcircled { ＼cdot } D ： （ x -$ 的兩條切線與拋物線 E 分別交于 兩點(diǎn)，則 ？ D 是 Δ A B C 的內(nèi)切圓2，日 的最小值為最小值為 。

參考文獻(xiàn)

[1]李鴻昌．彭塞列閉合定理及特殊情形的初等證明［J].數(shù)學(xué)通訊，2023（6）：38-40.

[2]姜美.值得探究的“三角切圓”[J]：數(shù)學(xué)通訊，2012（24）：38-40.