意外與美好相伴 反思與進步相隨

1.引言

筆者在近日的一堂試卷講評課中，在講到一道圓錐曲線試題的時候，出現了一個美麗的小插曲.這讓筆者頗有感觸.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：“高中數學學習評價關注學生知識技能的掌握，更關注數學學科核心素養的形成和發展，制定科學合理的學業質量要求，促進學生在不同學習階段數學學科核心素養水平的達成.評價既要關注學生學習的結果，更要重視學生學習的過程.”1]當前在一線教育教學實踐活動當中.試卷講評課作為日常教學的常規課型，教師如何做到因材施教，最大程度地提高效率呢？下面結合這個小插曲談談筆者對試卷講評課的思考。

2.試題講評過程

題目 已知橢圓具有如下性質：若橢圓的方程為 ，則橢圓在其上一點 處的切線方程為 試運用該性質解決以下問題：橢圓C ，點 B 為 在第一象限中的任意一點，過 B 作 的切線 分別與 x 軸和 y 軸的正半軸交于 兩點，則 面

積的最小值為（ ）.

A.1 B.3 C. （204號 D.2

筆者首先講解了這道題的一般解法（解法1），通過學校集體教學平臺“智學網”的統計數據，發現這道試題正確率較高，且學生的解法與解法1基本相同。

解法1（教師提供）由題意可設 ，則橢圓在點 B 處的切線方程為 ·由此易知 因為點 B 在第一象限且在橢圓上，因此 又點 B 在橢圓上，故 ，由重要不等式得 經檢驗， 時等號成立，符合題意.故 故選

筆者計劃講完解法1，快速進入下一題的講解.但此時，學生1說道：“老師，我有其他解法！”并繼續說：“您這個解法我開始也想到了，后面我沒有做下去，因為我忘掉了重要不等式和基本不等式，我是用二次函數的值域求出來的。

解法2（生1提供） 同解法1，要求 的最小值，注意到 ，根據函數 y = 的單調性，易知問題等價于求 的最大值，結合函數 與 在 上都是單調遞增的，根據老師常講的表征概念，我們進一步將問題轉化成求 的最大值，顯然 ，結合 的范圍容易知道 ，由二次函數圖像易知：當 時， 的最大值為 ，則 的最小值為 故選

同學們一聽立馬有聲音發出：“我也是這樣做出來的.”筆者聽后心中很是欣慰，于是趁熱打鐵追問：還有沒有同學要展示他的解法的？”

解法3 （生2提供） 可以改寫為 這樣在學生1的基礎上又往前推了一步，更簡單了.

學生2說完，大家均表示簡單是簡單了一點，但是并沒有思想上的大不同，這時，學生3說：“我的做法和他們有本質的不一樣，其解法如下：

解法4 （生3提供） 我們從參數方程的角度進行考慮，把橢圓的標準方程改寫為參數方程 {x =√2cosθ，（θ為參數），于是 S△cO 由 都在第一象限，故 （204號 ，結合正弦函數圖像我們容易知道 ，因此 的最小值為 故選

聽到這里，學生4坐不住了，他提出可以將該題進行一般化處理

推廣 直接使用切線方程 的通式，不難發現 ，而后就和上面學生1說的一樣，轉化為計算 的范圍問題，再用學生3的參數方程思路，依舊采用 （0，11]，那么 $S _ { ＼Delta C O D } _ { } = ＼frac { a ^ { 2 } b ^ { 2 } } { 2 x _ { 0 } y _ { 0 } } ＼geqslant a b .$

筆者肯定了學生4的推廣，并告知學生按照以前的分組討論推廣.接下來筆者對這道題進行了總結概括，并給出了分析指導，至此這道題的講評基本結束。

3.關于試卷講評課的幾點思考

3.1 鼓勵學生積極參與試題研究

在高中數學教學中，試卷講評課是不可或缺的一種課型.教師為了跟進學生的學習進程、監測學生的學習狀態，會安排多次模擬測試，此時試卷講評課就會高頻呈現.這時會出現一個普遍的現象，教師為了到達課程預設的進度，往往只是在課上唱獨角戲.表面上似乎學生學到了很多知識，實際上有相當一部分學生處于一知半解的狀態.隨著高考評價體系的實施，高考命題已經從能力立意轉變為價值引領、素養導向、能力為重、知識為基，因此關鍵能力是高考重要的考查目標，是測試和評價的核心指標和因素[2].我們教師應該學會讓試卷講評課重點突出，對典型試題進行深度挖掘，鼓勵學生多想、多講，做到你講、我講、大家講.語言（包括口頭語言及書面語言）表達能力，是學生適應學習、生活、未來工作的基本能力.語言表達能力與閱讀理解能力既相互聯系又彼此對應，其操作對象都是語言，閱讀理解是信息輸人的過程，語言表達是信息輸出的過程，閱讀理解是正確表達的基礎，語言表達是閱讀理解結果的呈現.通過這樣的形式可以促進學生素養的發展，這樣的課堂才是有生命力的課堂.這樣的試卷講評課一旦形成習慣，看似容量很小的課堂其厚度無限增加，真正做到了快樂學習、有效教學、師生共同成長。

3.2 注重分層教學在試卷講評課中的應用

關于分層教學的論述很多，具體做法更是各有千秋.筆者認為在試卷講評課進行分層教學，最容易落地的舉措就是進行一題多解，不同解法之間總是存在這樣或者那樣的聯系，這些聯系或是顯性的或是隱性的.例如，本文中所提及的解法1和解法3，其本質都是使用基本不等式，僅僅是呈現形式不一樣.另外解法2的實質為復合函數的單調性，它與解法1和解法3都是從函數變量的視角去討論的，因為絕大多數均值不等式經過變量替換等過程最終也會轉化成一元函數的最值問題.最后的推廣也是來源于筆者平時與學生的交流，通過將問題條件弱化或在圓錐曲線內部進行類比、遷移的探究，體現了部分學有余力的學生融會貫通的能力.多數學生能夠根據自身的思維能力，有效掌握里面的一種或幾種解法，那么這節課對他們來說就是有效的，他們也會在課堂上收獲滿滿的學習成就。

3.3 營造民主平等、寬松愉悅的課堂氛圍

任何好的課堂都需要民主平等、寬松愉悅的環境，只有教師積極營造良好的課堂情感基調才能最大程度地讓學生在放松的狀態下去學習.由于試卷講評課是在考試之后進行的，許多學生還沉浸在考試的喜悅與悲傷之中，教師不能對此熟視無睹，尤其不能一味地責怪學生，否則就會使學生對講評課失去興趣，磨滅學生對數學知識的探索欲望3．因此，要想上好講評課，教師首先要以表揚和鼓勵為線索，引導學生發現自己的長處，肯定學生的努力和進步.在教學中，教師為學生留下足夠的思維空間和探究機會，引導學生樂于闡述自己的理解，這是為了深層次的達成明確的教學目標、落實立德樹人的根本任務[4]．比如前文提及的，筆者對學生給出的新解法加以表揚，讓學生在表揚中獲得滿足感和努力學習帶來的榮譽感，從而增強學習的信心。

3.4始終保持學無止境的謙遜心態

一些教師上試卷講評課，習慣使用“智學網”“學科網”等教學輔助軟件進行數據統計，而后進行精準教學，學生錯哪講哪，絕不多講、節外生枝，惜時如金.類似筆者這次的試卷講評課，對教師自身的專業素養提出很高要求.筆者有幸曾參加在深圳中學數學教學參考主辦的第一屆“問題·思維·素養”高中數學名師優課觀摩研討會，會上張維忠教授的講座深入淺出、旁征博引，令我折服，此時筆者才慢慢明白古人為何會有才華橫溢一詞，這就是用來形容有真才實學的學者的.經交流，得知張教授課前做了精心備講.大學者尚且如此認真，何況我們普通一線教師.備課過程中如何查詢試題解答類資料？筆者的一條經驗是借助知網數據庫，常規問題的解法基本可以在知網數據庫中其他學者的一題多解文章中找到，甚至一些基于高等數學觀點給出的解答也能查詢到（由熱衷鉆研的老師提供）.因此，對待教師本身不熟悉或者難度較大的試題要抱著學習的態度進行知網數據庫查詢，從中獲得更多更好的解法，豐富教師自身的知識儲備。

4.結語

數學試卷講評課實際上是一個非常復雜的工程，我們在教學中不僅僅要關注學科知識的累積，使學生的數學學習真正發生，在試卷講評的過程中實現對學生核心素養的培養，這才是教學的本質內在要求.我們一線教師在進行試講講評教學中可以嘗試適當留白，因為教師的留白是學生創新的必要條件，這樣做不僅可以形成更好的民主課堂氛圍，也可以增加大家的表達機會.因此，我們有必要倡導留白創造式教學，為學生的學習留下一片可以探索的廣闊空間，這對學生的長線發展無疑是極為有益的，更是落實立德樹人最樸素的做法。

參考文獻

[1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年版）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]教育部考試中心.中國高考評價體系說明（2019年版）[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3]洪麗敏.作業講評多“不妨”，生本評價促提升[J].中學數學研究（江西師大），2024，（03）：1-3.

[4］張維忠.中華優秀傳統文化融入課程與教學［J].中小學教材教學，2023（03）.11.