基于核心素養(yǎng)的函數(shù)大概念下“二次函數(shù)”單元教學(xué)初探

2022年頒布的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提到“基于核心素養(yǎng)發(fā)展要求，避選重要觀念、主題內(nèi)容和基礎(chǔ)知識(shí)，設(shè)計(jì)課程內(nèi)容，增強(qiáng)內(nèi)容與育人目標(biāo)的聯(lián)系”2018年頒布的普通高中各學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)中“凝練學(xué)科核心素養(yǎng)”“重視了以學(xué)科大概念為核心，使學(xué)科內(nèi)容結(jié)構(gòu)化”.圍繞大概念進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)成為學(xué)科教育發(fā)展的趨勢(shì)，改變注重以課時(shí)為單位的教學(xué)設(shè)計(jì)、推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)是落實(shí)核心素養(yǎng)的重要手段.如何避免碎片化教學(xué)設(shè)計(jì)，圍繞大概念進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)以真正落實(shí)核心素養(yǎng)呢？一線教師在實(shí)踐的過(guò)程中還有很多困擾，下面，筆者結(jié)合“二次函數(shù)”單元教學(xué)進(jìn)行探討.

一、大概念統(tǒng)攝下單元教學(xué)設(shè)計(jì)的要素

1.課標(biāo)要求.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》提出：要通過(guò)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中變量的分析，建立兩個(gè)變量之間變化的依賴關(guān)系，讓學(xué)生理解用函數(shù)表達(dá)變化關(guān)系的實(shí)際意義；要引導(dǎo)學(xué)生借助平面直角坐標(biāo)系中的描點(diǎn)，理解函數(shù)圖象與表達(dá)式的對(duì)應(yīng)關(guān)系，理解函數(shù)與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，理解函數(shù)與對(duì)應(yīng)方程、不等式的關(guān)系，增強(qiáng)幾何直觀；會(huì)用函數(shù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界事物的簡(jiǎn)單規(guī)律，經(jīng)歷用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的過(guò)程，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，進(jìn)一步發(fā)展應(yīng)用意識(shí).

2.章節(jié)對(duì)比分析，明確單元學(xué)情.通過(guò)梳理初中相關(guān)內(nèi)容，我們了解到在學(xué)習(xí)本章知識(shí)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)概念和一次函數(shù)，具備了一定的研究經(jīng)驗(yàn)，基本形成了函數(shù)的大概念.它和一次函數(shù)、反比例函數(shù)屬于大概念“函數(shù)”統(tǒng)攝下的三部分內(nèi)容，主要是研究?jī)蓚€(gè)變量之間的聯(lián)系.通過(guò)對(duì)比人教版教材中一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)三個(gè)章節(jié)的內(nèi)容，可以發(fā)現(xiàn)它們呈現(xiàn)的知識(shí)脈絡(luò)十分清晰，從整體上揭示了“二次函數(shù)”這一章節(jié)的知識(shí)結(jié)構(gòu)、思想方法和認(rèn)知規(guī)律等學(xué)習(xí)內(nèi)容.三章內(nèi)容都是從實(shí)際情境引出二次函數(shù)的概念，然后通過(guò)研究圖形，發(fā)展幾何直觀，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的性質(zhì)．最后應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題.

3.教材對(duì)比分析，明確單元教學(xué)內(nèi)容與結(jié)構(gòu)．類比一次函數(shù)單元的學(xué)習(xí)，從實(shí)際情景出發(fā)，擴(kuò)充函數(shù)的類型．為了更好地明確二次函數(shù)單元的教學(xué)結(jié)構(gòu)，達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，筆者對(duì)多個(gè)版本的初中數(shù)學(xué)教材中二次函數(shù)單元的內(nèi)容編排進(jìn)行了比較分析，如表1.

二、大概念統(tǒng)攝下二次函數(shù)單元教學(xué)的目標(biāo)

1.把章引言中“什么樣的函數(shù)是二次函數(shù)”拓展為：了解二次函數(shù)及其相關(guān)概念，通過(guò)具體示例認(rèn)識(shí)這種函數(shù)．經(jīng)歷把實(shí)際問(wèn)題抽象為二次函數(shù)的過(guò)程，體會(huì)函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中變量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型，發(fā)展抽象能力和模型觀念.

2.把討論二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)拓展為：通過(guò)對(duì)比研究一次函數(shù)的方法探索如何研究二次函數(shù)圖象和性質(zhì)．能通過(guò)類比的方法明確研究圖形和性質(zhì)的方法與步驟，能通過(guò)畫圖比較總結(jié)處二次函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生類比的思想，系統(tǒng)性的思維方式.

3.把如何確定二次函數(shù)的解析式拓展為：能根據(jù)已知條件，合理選擇二次函數(shù)解析式的三種表達(dá)方式：一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式，并用待定系數(shù)求出解析式，體會(huì)方程思想.

4.把加深對(duì)一元二次方程的認(rèn)識(shí)拓展為：理解一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，理解一元二次方程研究的是二次函數(shù)某一個(gè)時(shí)刻的值，并能根據(jù)圖象找到一元二次方程的解，找到不等式的解集，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.

5.把運(yùn)用二次函數(shù)分析和解決某些實(shí)際問(wèn)題拓展為：能夠根據(jù)實(shí)際問(wèn)題背景構(gòu)建二次函數(shù)模型，并解決實(shí)際生活鐘的問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

三、以學(xué)生研究為基礎(chǔ)開展單元教學(xué)的實(shí)踐

1.從情景出發(fā)構(gòu)建模型，以情景為錨明確章節(jié)學(xué)習(xí)任務(wù)．在二次函數(shù)章節(jié)的第一個(gè)課時(shí)中我們選擇設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題情景：情景1：正方體的六個(gè)面是全等的正方形，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 x ，表面積為 y. 表面積與邊長(zhǎng) x 有什么關(guān)系？（人教版教材）情景2：某種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是 20t ，計(jì)劃今后兩年增加的產(chǎn)量，如果每一年都比上一年增加 x 倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量 y 將隨計(jì)劃所定的 x 的值而確定， 與 x 之間的關(guān)系怎樣表示？（人教版教材）情景3：校運(yùn)會(huì)期間，各班組建一支隊(duì)伍進(jìn)行拔河比賽 .n 個(gè)班參加比賽，每?jī)申?duì)之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽.比賽的場(chǎng)次數(shù) 和參加班級(jí)數(shù) n 之間有什么關(guān)系？情景4：一名學(xué)生投籃時(shí)，籃球行進(jìn)高度 y（m） 與水平距離 x（m） 之間的關(guān)系，你能想辦法求出來(lái)嗎？教學(xué)說(shuō)明：根據(jù)情景1、情景2、情景3，學(xué)生會(huì)生成以下關(guān)系 但對(duì)于情景4，學(xué)生無(wú)從下手.但不在預(yù)設(shè)范圍內(nèi)的問(wèn)題往往會(huì)激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維．通過(guò)前3個(gè)問(wèn)題情景讓學(xué)生感受函數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活密不可分，并從實(shí)際問(wèn)題中抽象出函數(shù)模型，發(fā)展學(xué)生的模型意識(shí).問(wèn)題情景4的呈現(xiàn)，是為了激發(fā)學(xué)生思考如果尋找圖象中所蘊(yùn)涵的變量關(guān)系，進(jìn)而引出研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)的必要性，同時(shí)明確本章的研究任務(wù).

2.在問(wèn)題中促進(jìn)學(xué)生發(fā)散思維，在問(wèn)題鏈中聚焦研究起點(diǎn).在本章的第二課時(shí)教學(xué)中大膽展開了如下問(wèn)題鏈?zhǔn)浇虒W(xué)活動(dòng)：教師：根據(jù)上述實(shí)際問(wèn)題，歸納出二次函數(shù)的一般形式 0 ）.我們?nèi)绾窝芯克膱D象與性質(zhì)呢？生：畫圖.師：那請(qǐng)同學(xué)們自己寫一個(gè)喜歡的二次函數(shù)解析式，然后畫出它的圖形.（學(xué)生自我探索，教師請(qǐng)學(xué)生展示了各種圖形，有直線，曲線，V線等）師：這些圖形看起來(lái)都不一樣？生：我的不是直線，不應(yīng)該只描兩個(gè)點(diǎn)，因?yàn)槲覀兪孪榷疾恢缊D形是什么樣子，一般要描5個(gè)點(diǎn).師：這兩幅都描了5個(gè)點(diǎn)，圖形好像也不一樣？.

3.類比一次函數(shù)研究二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)—落實(shí)幾何直觀.在教學(xué)中，我們應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)研究的基本方法，體會(huì)用相似的方法解決不同的問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)歷用相同的方法研究不同的數(shù)學(xué)對(duì)象的過(guò)程，學(xué)會(huì)一般觀念引領(lǐng)構(gòu)建出數(shù)學(xué)研究對(duì)象的基本路徑、基本套路與基本方法，并用自主構(gòu)建的研究方法研究一個(gè)新的對(duì)象，經(jīng)歷了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等過(guò)程，發(fā)展了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)從知識(shí)傳遞到育人賦能.

四、聚焦大概念統(tǒng)攝下單元教學(xué)的路徑

1.歸納知識(shí)生成的一致性.一方面，生活中存在大量的數(shù)量關(guān)系，二次函數(shù)是描述實(shí)際生活中變量關(guān)系的一類關(guān)系．無(wú)論是過(guò)去學(xué)習(xí)過(guò)的一次函數(shù)，還是之后要學(xué)習(xí)的反比例函數(shù)，都是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)形成的．通過(guò)對(duì)抽象出的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分類研究，挖掘總結(jié)其性質(zhì)，反之用二次函數(shù)關(guān)系及其性質(zhì)幫助我們更精準(zhǔn)的解決實(shí)際問(wèn)題，從生活實(shí)際和數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)兩個(gè)方面進(jìn)行雙向研究，既能幫助我們理解概念的本質(zhì)特征，又助力我們形成單元函數(shù)大概念的基礎(chǔ)和核心

2.構(gòu)建教學(xué)方法的多樣性.函數(shù)關(guān)系都來(lái)源于實(shí)際生活，章引言中正方體表面積與邊長(zhǎng)關(guān)系、拋出小球的高度與時(shí)間關(guān)系、章前圖中噴頭噴出水珠的豎直高度與水平距離關(guān)系都抽象為二次函數(shù)，進(jìn)一步研究函數(shù)特征是為了幫我們解決復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題.這樣從情景出發(fā)，以情景為錨，明確章節(jié)研究思路，不僅是情景教學(xué)法的體現(xiàn)，也是一種項(xiàng)目式教學(xué)法.一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)都是研究變量關(guān)系，所以知識(shí)的生成與發(fā)展都具有一致性，所以學(xué)生在章節(jié)之初的學(xué)習(xí)中處于“不憤不啟，不不發(fā)”的心理狀態(tài)，類比教學(xué)方法就水到渠成了．在研究二次函數(shù)的圖象時(shí)，在問(wèn)題中促進(jìn)學(xué)生發(fā)散思維，在問(wèn)題鏈中聚焦研究起點(diǎn)，又是一種典型的問(wèn)題啟發(fā)式教學(xué)法.

3.發(fā)展數(shù)學(xué)思維的系統(tǒng)性.數(shù)學(xué)世界是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模瑪?shù)學(xué)知識(shí)是緊密聯(lián)系在一起的．在數(shù)學(xué)教學(xué)中最忌違碎片化教學(xué)，數(shù)學(xué)思維的發(fā)展絕不是簡(jiǎn)單的堆砌過(guò)程，數(shù)學(xué)思維的形成應(yīng)該是多種思維的交織前進(jìn)的過(guò)程.例如，在二次函數(shù)章教學(xué)中通過(guò)對(duì)大量實(shí)際問(wèn)題的研究，利用模型思維寫出變量關(guān)系，又利用抽象思維提煉出二次函數(shù)的概念．在研究圖形的過(guò)程中，利用類比思維明確研究思路，利用批判性思維找到畫圖的方法．這些都是人類思維最基本的趨勢(shì)．所以發(fā)展數(shù)學(xué)思維的實(shí)質(zhì)是發(fā)展一個(gè)由多種思維組成的思維系統(tǒng).只有發(fā)展思維系統(tǒng)，才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的育人價(jià)值.

【注：本文系廣州市教育科學(xué)規(guī)劃課題“雙減'背景下初中數(shù)學(xué)‘讓學(xué)促思教學(xué)范式研究”課題（課題編號(hào)：202215253）成果】

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)