高中數學開放性試題的常見類型及教學建議

【摘 要】與條件給定，且不多不少，全部應用就可以解題的傳統數學試題不同，開放性試題以不確定性、發散性、探究性及生成性為基本特征，注重考查學生的靈活性和廣泛性。目前的開放性試題一般有列舉實例型、結論是否型、結構不良型等類型。教學中，教師可以通過開放題境，現場編題；開放結論，實施探究；合作學習，開放思維；建立模型，開放策略等策略，助力學生有效應對開放性試題。

【關鍵詞】高中數學；解題解學；高考；開放性試題

【中圖分類號】G633.6" 【文獻標志碼】A" 【文章編號】1005-6009（2025）07-0024-04

【作者簡介】王克亮，江蘇省射陽中學（江蘇射陽，224399）教師，正高級教師，江蘇省數學特級教師。

教育部在《關于做好2024年普通高校招生工作的通知》（教學〔2024〕2號）中明確提出“優化試卷結構和試題形式，增強試題的應用性、探究性、開放性。”開放性試題以不確定性、發散性、探究性及生成性為基本特征在各種考試題型中獨樹一幟，它在一定程度上彌補了傳統試題的一些不足，在考查學生靈活性和廣泛性，考查學生的實踐能力和創新意識，以及情感、態度、價值觀等方面有著比較明顯的優勢。

一、數學開放性試題的常見類型

傳統數學試題的特點是條件都是給定的，而且不多不少，全部應用就可以解題；解題的思路是固定的，即使是一題多解的題目，每種解法的思路也是固定的，只要沿著固定的思路就能解題；解題的結果也是唯一確定的，能得出確切的結論和數值。與之相對，開放性試題通常會具有以下一些特點：有的題目條件不充分，需要學生補充后才能解題，補充的條件不同，解題的思路和解法也會不同；有的題目的結論不是事先給定的，甚至答案是不確定的，存在著多樣的解答；有的題目沒有現成的解題模式，往往需要在求解過程中從多個角度進行思考和探索。目前出現的開放性數學試題，通常有以下幾種類型。

1.列舉實例型

這類試題一般會給出一些條件，要求學生從中獲取信息，整理信息，寫出符合要求的結論或是具體實例。

例1（2021年新高考2卷第14題）：寫出一個具有性質①②③的函數f（x）=_______。

①f（x1x2）=f（x1）f（x2）；②當x∈（0，+∞）時，f '（x）gt;0；③f '（x）是奇函數。

評注：該題要求學生在理解函數性質①②③的基礎上從抽象到具體構建出一個函數f（x）。解題的關鍵是理解函數性質，第①條為自變量積的函數值等于對應函數值的積，第②條是在x軸正半軸為增函數，第③條導函數是奇函數，則原函數為偶函數。本題的結論開放，答案不唯一，例如f（x）=|x|，f（x）=x2等。該試題在考查學生思維的靈活性方面發揮了很好的作用，同時也給不同水平的學生提供了充分發揮自己數學能力的空間。

2.結論是否型

這類試題沒有給出明確的結論，通常以“是否存在”或“是否滿足”等問詢的方式出現。 需要學生根據條件進行推理，自己確定試題的結論。

例2（2020年北京卷第21題）

已知{an}是無窮數列。給出兩個性質：

①對于{an}中任意兩項ai，aj（igt;j），在{an}中都存在一項am，使[ai2aj=am]；

②對于{an}中任意項an（n..3），在{an}中都存在兩項ak，al（kgt;l）。使得an=[ak2al]。

（1）若an=n（n=1，2，……），判斷數列{an}是否滿足性質①，說明理由；

（2）若an=2n-1（n=1，2，……），判斷數列{an}是否同時滿足性質①和性質②，說明理由；

（3）若{an}是遞增數列，且同時滿足性質①和性質②，證明：{an}為等比數列。

評注：本題前兩小題的結論都是以“是否”的形式出現，結論不明確，且第（1）小題的結論是否定的，所給數列不滿足性質①；第（2）小題的結論是肯定的，所給數列同時滿足性質①和性質②。本題具有較好的開放性，有利于考查不同層次學生的推理與思維能力。

3.結構不良型

初始條件、解決策略和目標結論這三者中至少有一個不明確的試題稱為結構不良試題。數學學科的結構不良試題主要包括：問題條件或部分數據缺失或冗余；問題目標界定不明確；具有多種解決方法、途徑；具有多種評價解決方法的標準；所涉及的概念、規則和原理等不確定。高考中的結構不良試題通常不要求學生自己補充條件，而是從所給出的幾個條件中選擇一條或多條補充到試題中，然后進行解答，或者對給出的條件進行重新組合，實現不同的問題解答路徑。此外，也有高考試題給出不同的結論，請學生選擇并加以論證。

例3（2021年高考甲卷理科第18題）

已知數列{an}的各項均為正數，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立。

①數列{an}是等差數列；②數列{[Sn]}是等差數列；③a2=3a1。

評注：本題要求學生根據所給條件合理構建一個命題，并證明命題成立。試題設計了個不同的組合方案，組成三個真命題，給學生充分的選擇空間，選擇什么樣的條件和結論，直接影響到問題的思維和證明過程，有益于不同學生在不同層面上發揮自己的數學能力。

二、數學開放性試題的教學建議

如何有效應對開放性試題，目前大家還在探索之中，筆者作了以下幾點嘗試。

1.開放題境，現場編題

教學中，對于一些可改變題境的問題，教師可以創設開放性問題情境，讓學生現場編題，舉一反三，鼓勵學生大膽提出問題與解決問題。

例如，教師先讓學生解決下列拋物線的問題：已知定點A（4，1），F是拋物線C：y2 = 4x的焦點，P是C上一點，則|PA|+|PF|的最小值為______。然后讓學生類比該題解題原理，若定點A（4，1）不變，請以橢圓[x2100+y236=1]或雙曲線[x24?y212=1]為背景，命制一道類似的問題，并解答。

本題的關鍵是將拋物線上的點到焦點的距離，轉化為其到準線的距離。基于這個原理，以橢圓或雙曲線為背景命題時，最后的表述式要寫成|PA|+[1e]|PF|的形式。所以，以橢圓、雙曲線為背景的兩道試題可命制為：

（1）已知定點A（4，1），F是橢圓C：[x2100+y236=1]的右焦點，P是C上一點，則|PA|+ [54]|PF|的最小值為________。

（2）已知定點A（4，1），F是雙曲線C：[x24?y212=1]的右焦點，P是C上一點，則|PA|+ [12]|PF|的最小值為________。

評注：更換題境，讓學生現場命題，可引導學生領悟一類問題的內在規律，達到舉一反三的效果。經常這樣做，可增強學生對問題進行變式意識，能有效提升學生解決開放性試題的能力。對于本題而言，如果想提高難度，還可以不給出橢圓與雙曲線的方程，讓學生自己去尋找一個適合題意的橢圓或雙曲線。

2.開放結論，實施探究

教學中，對于一些背景相同但結論多樣的問題，可以放手讓學生探究，讓其自行發現相關結論或性質。

例5：如圖1，已知F是拋物線C：y2=2px（pgt;0）的焦點，過點F且傾斜角為α的直線交拋物線于A，B兩點，由點A，B分別向拋物線的準線作垂線，垂足為A1，B1，設P，Q的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）。以此為背景，你能得到的結論有 " 。

評注：開放結論，組織學生探究，可充分培養學生分析問題與解決問題的能力。值得注意的是，讓學生記住這些結論不是目的，更重要的是引導領悟解決問題的方法、體驗探究的過程，這樣才能有效提升學生解決開放性試題的能力。

3.合作學習，開放思維

在教學中，對于解題切入角度較多的試題，宜開展合作學習，互相啟發，共同探索解題思路。

例6（2022·新高考Ⅰ卷第14題改編）：寫出與圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的兩條直線的方程____________。

解析：如圖2所示，根據條件，可判斷出兩圓相外切，所以共有3條公切線。如何選擇不同的切線方程去求解，不同的學生有不同的想法。圖3中的切線n和切線l，其方程是易求的；而切線m方程的求解，解法多樣，是培養學生發散性思維能力的好機會。為此，在教學中，筆者給了學生充分思考時間后，又開展了小組合作討論，然后讓學生上臺展示，結果出現了如下幾種解題思路：方程組法、向量法、等角法。

評注：采用合作學習，學生之間可以進行有效思維碰撞，集思廣益，得到意想不到的效果（事實上，課堂上學生還得到了其它解決，這里不再贅述）。經常開展小組合作學習，可拓寬學生的思維渠道，提升學生應對開放性試題的能力。

4.建立模型，開放策略

在教學中，教師可以引導學生建立一些常見的模型。雖然這些模型的性質與結論不能直接應用于解題之中，但有助于我們明確方向，指導探究，優化解法，進而拓展解題策略。

例7（2023·新高考Ⅱ卷第21題改編）如圖3，雙曲線C：[x24]－[y216]＝1的左、右頂點分別為A1，A2，過點（-4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點P。試探究：是否存在一條直線，使得點P恒在該直線上？若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由。

解析：這樣的直線是否存在，方向不明。平時教學中，如果幫助學生建立了下列模型1，則可幫助其快速明確結論方向。

模型1：圓錐曲線極點與極線的雙割線模型

如圖4，P（x0，y0）為不在圓錐曲線上的點（非圓錐曲線的中心），過點P引兩條割線依次交曲線于點A，B，C，D，連接DB，CA交于點M，連接AD，BC交于點N，則直線MN為點P對應的極線，且直線MN的方程為Ax0x+Cy0y+D[x0+x2]+E[y0+y2]+F=0。

不難發現，該試題中就有這樣的模型1，圖3中的MN與A1A2是過點（-4，0）的兩割線，且MA1與NA2的交點P，若設MA2與NA1的交點為Q，則直線PQ就是點（-4，0）關于該雙曲線的極線。如此一來，結論的方向就明確了，存在這樣的直線，且其方程為x=-1。

評注：除了圓錐曲線極點與極線的雙割線模型以外，本題還涉及到圓錐曲線的手機筒模型和類直徑所對圓周角斜率之積模型等模型。實際解題時，學生運用的模型個數不一樣，可以得到不同的解題策略。所以，幫助學生建立一些常見的模型，可以開闊學生的視野，提高學生解決開放性試題的能力。當然，這里也有一個度的問題，不能過多過濫，以免增加學生的負擔。

【參考文獻】

［1］中國高考報告學術委員會.高考關鍵能力培養與應用［M］.現代教育出版社，2024：9.