指向應(yīng)用性的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)探討

【摘 要】解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，研究如何基于解題教學(xué)提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力是重要課題。解答社會實踐情境下的問題是提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的重要路徑。指向應(yīng)用性的解題教學(xué)要更加突出教審題，指向培養(yǎng)學(xué)生高質(zhì)量地認(rèn)識問題、分析問題與解決問題的能力。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)應(yīng)用；解題教學(xué)；應(yīng)用題：社會實踐情境

【中圖分類號】G633.6" 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A" 【文章編號】1005-6009（2025）07-0016-04

【作者簡介】渠東劍，南京市秦淮區(qū)教師發(fā)展中心（南京，210002）數(shù)學(xué)教研員，正高級教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級教師。

一、問題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）指出“要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系”，對數(shù)學(xué)教學(xué)提出了明確要求。《國務(wù)院關(guān)于深化考試招生制度改革的實施意見》明確指出，要“著重考查學(xué)生獨(dú)立思考和運(yùn)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力”，為高考內(nèi)容改革指明了方向。《中國高考評價體系》則是命題的理論基礎(chǔ)與實踐指南，“四翼”是其核心內(nèi)容之一，回答了“怎樣考”的問題，其中之一便是“應(yīng)用性”，強(qiáng)調(diào)突出考查學(xué)以致用的導(dǎo)向。這些都對數(shù)學(xué)教學(xué)突出應(yīng)用性、提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、體現(xiàn)數(shù)學(xué)育人價值、推進(jìn)“五育并舉”，具有積極而重要的意義。

“‘?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用’是一個比較寬泛的概念……除了生活實際中的應(yīng)用之外，數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科，和其他學(xué)科有著密切的聯(lián)系……從更廣義的角度來說，數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部知識之間的關(guān)聯(lián)與交互可以看作是數(shù)學(xué)應(yīng)用的一種延伸。”［1］這為理解“數(shù)學(xué)應(yīng)用”提供了參考，為突出數(shù)學(xué)應(yīng)用的教學(xué)給出了路徑，為指向提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的教學(xué)明確了方向。

問題是數(shù)學(xué)的心臟。就基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與質(zhì)量評價而言，一定意義下，數(shù)學(xué)題目是數(shù)學(xué)問題的主要外顯形式，解答題目是解決問題的重要表現(xiàn)形式，是關(guān)鍵能力的外在表現(xiàn)。提高學(xué)生解題水平，是深化學(xué)生思維能力、發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)的重要路徑，進(jìn)而研究解題教學(xué)具有重要的、現(xiàn)實的意義。

依據(jù)高考數(shù)學(xué)問題情境的分類：課程學(xué)習(xí)情境、探索創(chuàng)新情境和社會實踐情境，其中社會實踐主要關(guān)注數(shù)學(xué)與其它學(xué)科和社會生活實際的關(guān)系，包括生活生產(chǎn)實際、科學(xué)研究等背景。［1］社會實踐情境下的問題，是體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要載體，其解題教學(xué)對提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力具有重要意義。本文主要探討社會實踐情境下的解題教學(xué)。其基本觀點是，解題教學(xué)要更加突出審題過程，悉心啟發(fā)引導(dǎo)，滲透數(shù)學(xué)建模，提升應(yīng)用能力，促進(jìn)思維發(fā)展。

二、堅持應(yīng)用性問題解題大方向

一定意義下，“數(shù)學(xué)應(yīng)用”是指將數(shù)學(xué)知識主動運(yùn)用于問題解決中，即用已有數(shù)學(xué)知識去解決問題。從問題解決過程看，數(shù)學(xué)是主角，問題歸根到底是數(shù)學(xué)問題。解決問題的大方向是，將生活實踐或其他學(xué)科背景下的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再運(yùn)用數(shù)學(xué)知識去解決這個數(shù)學(xué)問題，并回答所要解決的問題。因此，解題首先是盡快地從情境中“解脫”出來，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，而不是在情境中作過多“停留”，或糾纏于無關(guān)數(shù)學(xué)解題的情境活動。這是解答社會實踐情境下問題的基本原則，是解題教學(xué)所必須堅持的。社會實踐情境下問題的解題路徑如圖1所示。

例1（2019年高考數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷理科第4題） 2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系。為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運(yùn)行。L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上。設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動定律和萬有引力定律，r滿足方程：[M1（R+r）2] + [M2r2]=（R+r） [M1R3]。設(shè)α= [rR]，由于α的值很小，因此在近似計算中[3α3+3α4+α5（1+α）2]≈3α3，則r的近似值為（" "）

A.[M2M1R] B.[M22M1R] C.[3M2M1R] D.[M23M1R]

本題屬于科技背景的問題，題目表述長度達(dá)200多字符，信息量較大，對學(xué)生閱讀理解能力要求較高。但是，題目的前半部分只是背景介紹，意在讓學(xué)生理解問題的來龍去脈，了解中國航天事業(yè)偉大成就，滲透愛國主義教育，實現(xiàn)高考立德樹人功能。就高考而言，解題本質(zhì)上就是追求答案，因此題目中有用的信息是從“r滿足方程”開始的。解題當(dāng)然要全面審題，但是要突出審題方向，應(yīng)盡快從情境中“解脫”出來，盡快將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：題目要求什么？可以依據(jù)的條件是什么？條件有怎樣的結(jié)構(gòu)特征？條件[3α3+3α4+α5（1+α）2]≈3α3意味著什么，怎樣創(chuàng)造條件用上它？

三、注重應(yīng)用性問題解題信息讀取

社會實踐背景下的題目，一般都具有如下特征：創(chuàng)設(shè)真實的情境，提出真實的、有意義的問題；全面考查數(shù)學(xué)應(yīng)用的一般過程，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的價值。這類題目一般表述篇幅比較長，文字符號比較多，信息比較紛雜，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題需要的時間比較漫長。這些都指向?qū)忣}難度比較大。審題是解題的重要步驟，也是至關(guān)重要的第一步。因此，解題教學(xué)要堅持教師不讀題原則，讓學(xué)生“親自”讀題。

根據(jù)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者主動建構(gòu)內(nèi)部心理表征的過程，即學(xué)習(xí)是一種心理活動，重在心理體驗。解題教學(xué)也不例外，必須讓學(xué)習(xí)者“親身”經(jīng)歷解題的過程。在這里，讀題就是審題，畫圖也是審題，如果教師讀題、畫圖，就是包辦代替，越俎代庖。

試想，教師進(jìn)行解題教學(xué)，一般都是事前充分備課，對所選擇題目了然于胸，對情境創(chuàng)設(shè)、命題立意、多種解法、變式引申、規(guī)律總結(jié)等都作充分的研究。當(dāng)走向課堂，已然是成竹在胸。因此如果教師讀題，必然會滲透進(jìn)去個人的情感，其讀題過程中的口氣、語氣、標(biāo)點、斷句……都將對學(xué)生理解題意產(chǎn)生幫助作用。這看似縮短了學(xué)生理解題意的路程，降低了審題的時間成本，加大了課堂的“容量”，但是學(xué)生通過解題所經(jīng)受的思維的訓(xùn)練將大打折扣。畢竟到了考場上，誰給學(xué)生讀題呢？

當(dāng)然，突出學(xué)生讀題，并不意味著教師可以袖手旁觀，而是要密切關(guān)注學(xué)生得審題進(jìn)程，適時地啟發(fā)引導(dǎo)。甚至需要事前設(shè)計好啟發(fā)性問題串，以引導(dǎo)學(xué)生審題，展開探究學(xué)習(xí)。

例2（2014年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第18題）

如圖2，為了保護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時設(shè)立一個圓形保護(hù)區(qū)。規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不小于80m。經(jīng)測量，點A位于點O正北方向60m處，點C位于點O正東方向170m處（OC為河岸），tan∠BCO=[43]。

（1）求新橋BC的長；

（2）當(dāng)OM為多長時，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？

分析第（2）題時，教師可以設(shè)計如下啟發(fā)性問題串，用于教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生探究。

何時圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？（圓的半徑最大時）——OM是什么？——它決定圓的圓心位置；圓M因圓心運(yùn)動而引起半徑變化，那么半徑與OM長有何關(guān)系？——變化中的不變量是什么？——圓M與直線BC相切——相切有什么條件？怎樣建立圓半徑與OM的關(guān)系……

四、突出應(yīng)用性問題解題思維能力發(fā)展

數(shù)學(xué)應(yīng)用下的社會實踐情境題目，重在用已有知識去解決新情境下的問題，一定意義上是“換湯不換藥”。以高考數(shù)學(xué)試題為例，根據(jù)課標(biāo)，考查的知識點就那么幾十個；常用基本數(shù)學(xué)思想方法、解題策略就那么幾種，考知識、考方法、考思想的變化不可能太大。創(chuàng)新主要在情境與問題上：創(chuàng)新情境設(shè)計，變換角度提出問題。因此，在某種意義上解題就是多元表征條件，實現(xiàn)化歸轉(zhuǎn)化——將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為簡單的、熟悉的問題。

例3（2021年“八省聯(lián)考”數(shù)學(xué)卷第20題）

北京大興國際機(jī)場（如圖3）的顯著特點之一是各種彎曲空間的運(yùn)用。刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容。用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于2π與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和。例如正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是[π3]，所以正四面體在各頂點的曲率為2π-3×[π3]=π，故其總曲率為4π。

（1）求四棱雉的總曲率：

（2）若多面體滿足：頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2，證明：這類多面體的總曲率是常數(shù)。

從知識考查視角而言，該題涉及空間圖形、多面體、角、歐拉公式等。從情境設(shè)置、問題提出、解題過程等角度來說，則與傳統(tǒng)的立體幾何題目相去甚遠(yuǎn)：沒有考查空間直線與平面的位置關(guān)系的推理證明，沒有考查用空間向量解立體幾何問題。這是一道“社會實踐情境”的問題，突出數(shù)學(xué)應(yīng)用考查，本質(zhì)上考查了學(xué)習(xí)遷移能力：題目給出一個新概念，要求考生學(xué)習(xí)理解，并運(yùn)用所學(xué)概念，去解決新的問題。［3］

第（1）（2）題中都涉及概念“總曲率”，所以理解總曲率的概念是解題的基礎(chǔ)。學(xué)生之前并沒有學(xué)習(xí)過總曲率的概念，這就要求在新的情境下學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)定義（具體問題情境之下的），并在準(zhǔn)確理解新定義的基礎(chǔ)上，去理解題意，即用定義去思考，并用已有知識去解決問題。

該題是借北京大興國際機(jī)場背景開啟話題，引出總曲率的概念，并不是從該情境中抽象出數(shù)學(xué)問題。沒有這個情境或換成別的情境，比如其它建筑物，一樣提出總曲率的概念。因此，審題就是要“盡快地”從情境中走出來，直奔“總曲率”這一概念而去。理解“總曲率”的概念，既是解題的基礎(chǔ)，也是解題的難點。

理解總曲率的概念，關(guān)鍵是讀懂題目中的這句話：“多面體頂點的曲率等于2π與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和。”這其中又涉及對概念“曲率”“多面體的面角”的理解，可以把它們看作是概念“總曲率”的子概念。而對這些子概念的理解，又需要具備立體幾何基本知識。審題就是要厘清每一個子概念，并在此基礎(chǔ)上理解總曲率的概念。理解“多面體的面角”的概念可能是困難的，需要具備立體幾何基本知識去，甚至需要借助“熟悉的”多面體模型去理解，題目中所給的“正四面體的總曲率”，就是一個幫助理解概念的具體的例子，審題時自然要充分利用。

由此可見，理解題意是一個漫長的探索過程，是一個建構(gòu)新概念的過程，也是解題的至關(guān)重要的過程。在理解題意的基礎(chǔ)上，自然就是基于概念去思考，利用立體幾何基礎(chǔ)知識去解決所面對的問題，但這已經(jīng)是數(shù)學(xué)問題了。

“想得明白，寫得恰當(dāng)”應(yīng)該成為解題教學(xué)“兩步曲”。想得明白，就是突出審題，執(zhí)果索因，化歸轉(zhuǎn)化，探尋解決問題的起點；寫得恰當(dāng)，就是基于“想得明白”，從起點出發(fā)，謀篇布局，書寫表達(dá)，突出邏輯，環(huán)環(huán)相扣。解題教學(xué)，先教“想得明白”，后教“寫得恰當(dāng)”；只有想得明白，方能寫得恰當(dāng)。解答社會實踐背景下的題目的教學(xué)，也不例外。

【參考文獻(xiàn)】

［1］趙軒，任子朝，翟嘉祺.新高考數(shù)學(xué)應(yīng)用能力考查研究［J］.數(shù)學(xué)通報，2021（3）：22-24，32.

［2］渠東劍.春來江水綠如藍(lán)：2024年高考數(shù)學(xué)江蘇卷試題賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014（9）：43-46.

［3］渠東劍.八省聯(lián)考數(shù)學(xué)分析及啟示［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（6）：59-63.