關于“非主流”對稱性的應用探究教學

［摘" 要］ “非主流”對稱性在函數問題中十分常見，教學中需要設置探究專題，指導學生利用對稱性解析問題，構建解題思路. 研究者結合實例開展“非主流”對稱性的應用探究教學，并提出相應的教學建議，以期能為復習教學和備考提供幫助.

［關鍵詞］ 對稱性；應用；函數；零點；不等式；范圍

對稱性是函數的重要性質之一. 在教學中，教師通常會以奇偶性為切入點，隨后通過實例加深學生對對稱性、周期性和單調性的綜合理解. 這一過程往往注重求值問題的探討，而忽視與其他知識的整合. 在復習備考階段，建議從知識整合的角度出發，引導學生探索一些“非主流”的對稱性應用，并總結出相應的解題方法和技巧.

應用探究，過程指導

“非主流”對稱性的應用領域非常廣泛，建議圍繞以下四個模塊開展教學探究：函數零點的對稱分布、構造具有對稱性的函數、利用函數的對稱性解析不等式、結合函數的對稱性推導參數的取值范圍. 在教學過程中，應梳理知識內容、解析思路，并結合實例進行應用指導.

應用探究一：函數零點的對稱分布

在解決具有對稱性的函數零點問題時，可以應用函數零點的對稱分布來簡化解題思路. 解析問題可以分為兩步：首先，明確函數的性質，例如周期性、對稱性等；其次，繪制函數圖象，結合圖象解決問題［1］79.

解后總結 通過函數零點的對稱分布可以簡捷地繪制圖象. 在教學指導時，需關注兩個關鍵點：一是指導學生歸納總結常見函數的對稱形式，并推導出數式關系；二是構建對稱分布求解策略，形成分步思路：對稱探索→繪制圖象→應用數形結合求值.

應用探究二：構造具有對稱性的函數

構造具有對稱性的函數的具體思路為：若目標函數自身不具有對稱性，可以通過變形和轉化的方法，構造一個具有對稱性的函數，進而利用函數的對稱性來分析和求解問題. 另外，對于題目中關于點或線成對稱關系的兩個函數，可以從整體上將其視為具有對稱性的函數，從宏觀角度探究其性質［1］80.

解后總結 該問題的解決方法主要利用了函數的對稱性質，將兩點間距離的最小值問題轉化為點到直線距離的最小值問題，這本質上是對導數幾何意義的應用. “構造具有對稱性的函數”這一技巧，具體使用時蘊含著兩層深意：一是通過變形轉化，構造具有對稱性的函數；二是從整體上審視函數，把握其對稱性.

應用探究三：利用函數的對稱性解析不等式

利用“非主流”對稱性還可以解析不等式問題，常見于復合函數問題中. 在具體求解時，建議采用函數構造技巧，以簡化函數結構；利用導數知識分析并明確函數的性質，特別注意函數的對稱性，并結合這些性質來解析不等式.

例3 設函數f（x）在R上的導函數為f′（x），若f′（x）gt;f（x）+1，f′（x）=f′（6－x），f（3）=1，f（6）=5，則不等式f（lnx）+2x+1lt;0的解集為______.

思路引導 該問題給定了與函數相關的關系式，涉及原函數f（x）和導函數f′（x）. 探求與函數相關的不等式的解集，屬于函數不等式問題的范疇. 解析該題的核心在于掌握函數與導數的性質. 針對這類問題，建議先構造函數，再利用函數的對稱性來解決.

解后總結 上述解析過程被細分為三個階段：首先，通過構造函數來簡化問題；其次，分析函數的性質以揭示其對稱性；最后，利用函數的對稱性來轉化不等式并推導出解集. 整個過程涉及了導函數f′（x）的軸對稱特性和原函數f（x）的中心對稱特性. 在教學指導中，應注重引導學生發現對稱關系，并在必要時通過圖象輔助解釋.

應用探究四：結合函數的對稱性推導參數的取值范圍

在函數與導數的問題時，可以利用函數的對稱性來探討參數的取值范圍. 在通常情況下，題目會給出函數對稱性的條件，求解參數的取值范圍. 此時，可以從存在性的角度進行分析，即假設函數對稱性成立，然后推導出參數的取值范圍. 對于復合函數的問題，則可以通過構造兩個函數在同一定義域下的交點進行求解.

解后總結 利用函數的對稱性推導出參數a的取值范圍，整個求解過程的關鍵點有兩個：一是分析函數的性質，將原問題等價轉換為交點問題；二是采用數形結合的方法，分類討論兩種情況，反向推導出參數a的取值范圍. 在實際教學中，教師可從存在性視角逐步剖析并講解這類問題的解決策略.

教學反思，學習建議

1. 知識總結，方法歸納

對稱性是函數的特殊性質，是研究函數周期變化的重要內容. 教材中僅呈現了部分常見函數的對稱性，相對較為簡單. 然而，實際考查涉及許多特殊的、非主流的對稱函數. 因此，教學中教師應引導學生關注對稱函數的關系式，并總結探究方法與解析策略. 可以一些常見的“非主流”對稱性函數為例，指導學生剖析函數的對稱性，結合圖象進行直觀理解［2］.

2. 應用探究，思路引導

“非主流”對稱性函數種類繁多，在解題過程中具有廣泛的應用. 在教學中，建議結合實例指導學生進行探究，強化思路引導，讓學生感悟方法、積累經驗. 本文從“函數零點的對稱分布”“構造具有對稱性的函數”“利用函數的對稱性解析不等式”“結合函數的對稱性推導參數的取值范圍”四個維度，深入探討了函數對稱性的應用. 在教學實踐中，教師可以借鑒”問題設定→思路引導→過程指導→解后總結“的流程來完成教學.

3. 拓展探究，知識升華

在“非主流”對稱性的應用探究教學中，還應當注意合理拓展、升華知識. 在上述圍繞四個知識模塊開展的應用探究中，還可以將這些知識拓展到方程、模型等領域，引導學生深入探究. 拓展教學需要注意三點：一是多方面拓展升華，包括知識點、思維方法、轉化策略；二是適度拓展，注意合理性，難度不宜過大；三是注意結合實例，幫助學生鞏固知識［3］.

4. 思想滲透，素養提升

上述對函數對稱性的研究探討，涉及了思想方法的靈活運用. 例如，結合構造思想構建函數，利用轉化思想轉換問題，以及通過數形結合與分類討論來直觀分析各種問題情境. 在教學中，建議教師合理滲透數學思想方法，引導學生探索構建過程，讓學生逐步領悟、深刻體會數學思想方法的內涵，掌握其精髓，從而提升數學素養.

寫在最后

對于“非主流”對稱性的應用探究教學，需要結合實例進行分析和指導，讓學生深刻感知函數對稱性的應用，總結解題方法和經驗，從而提高解題能力. 在引導過程中，需要注意兩點：一是合理結合圖象，使學生能夠直觀感知知識；二是合理滲透數學思想，從思想層面上提高學生的解題能力.

參考文獻：

［1］ 袁濤，陸婭君，張和平. 探求函數對稱性質，厘清函數解題思路：由一道高考題引發的“函數對稱性問題”的思考［J］. 數學教學通訊，2023（6）：78-80

［2］ 唐新陽. 活用數學教材，挖掘習題特質：以一道課本習題探究一類指數型分式函數的對稱中心［J］. 中學數學，2023（1）：25-26+48

［3］ 高翔. 對稱問題的解題策略示例［J］. 中學數學教學參考，2023（27）：33-34.