模型構(gòu)建講“定義”，分層強化促“應(yīng)用”

［摘" 要］ “投影向量”與“數(shù)量投影”盡管是兩個不同的概念，但由于涉及“投影”內(nèi)容，因此存在一定的關(guān)聯(lián)性. 在教學(xué)“投影向量”與“數(shù)量投影”的過程中，研究者結(jié)合模型開展知識梳理，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解，通過實例強化讓學(xué)生掌握應(yīng)用方法與解題技巧，進而提升學(xué)生分析、解決問題的能力.

［關(guān)鍵詞］ 模型構(gòu)建；分層強化；定義；應(yīng)用；投影向量；數(shù)量投影

新課標明確指出：向量的投影是高維空間到低維空間的一種線性變換，知識核心為將平面向量投影的結(jié)果由“數(shù)量”變?yōu)椤跋蛄俊?，引出了“投影向量”的概? 基于新課標的要求，教學(xué)中需要教師著重指導(dǎo)學(xué)生掌握“投影向量”這一知識點，并結(jié)合“數(shù)量投影”進行對比探究.

知識梳理，教學(xué)指導(dǎo)

“投影向量”與“數(shù)量投影”盡管是兩個不同的概念，但由于均涉及“投影”內(nèi)容，因此存在一定的關(guān)聯(lián)性. 在實際教學(xué)中，筆者從定義出發(fā)，開展知識梳理，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解，并結(jié)合模型構(gòu)建公式和求法.

1. 投影向量的教學(xué)

在投影向量的教學(xué)中，需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩大知識模塊：一是結(jié)合圖形深刻理解模型，二是構(gòu)建模型探究計算公式.

（1）定義教學(xué)

（2）實例引導(dǎo)

（3）公式教學(xué)

2. 數(shù)量投影的教學(xué)

“數(shù)量投影”與“投影向量”最為顯著的區(qū)別是前者側(cè)重“數(shù)量”，在幾何上突出“長度”；而后者則側(cè)重“向量”，在幾何上突出“方向”. 對于數(shù)量投影的教學(xué)，建議立足模型，結(jié)合投影向量來完成.

（1）定義與求法構(gòu)建

（2）復(fù)合討論

強化教學(xué)，分層引導(dǎo)

“投影向量”與“數(shù)量投影”是基于同一投影模型所構(gòu)建的定義，在學(xué)生理解了定義、構(gòu)建了模型、總結(jié)了公式之后，筆者接下來采用分層引導(dǎo)、應(yīng)用強化的教學(xué)方式，設(shè)置具有層次性的實例問題，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識突破難點，并總結(jié)出解題思路.

第一階段：鞏固基礎(chǔ)，應(yīng)用定義

該階段需要引導(dǎo)學(xué)生鞏固基礎(chǔ)，并應(yīng)用定義來解決問題. 建議設(shè)計一些與投影向量與數(shù)量投影相關(guān)的一般性問題，在解題過程中引導(dǎo)學(xué)生深入理解兩個定義的本質(zhì)差異及其內(nèi)在聯(lián)系.

教學(xué)總結(jié) 在處理投影向量問題時，學(xué)生需要明晰共線關(guān)系和轉(zhuǎn)換思路. 根據(jù)投影向量的定義可知，投影向量與投影所在的向量共線. 因此，將問題轉(zhuǎn)換為該向量的數(shù)量投影與投影所在向量上的單位向量的數(shù)乘運算.

第二階段：能力進階，綜合應(yīng)用

該階段旨在進一步提升學(xué)生的解題能力，引導(dǎo)他們深入探究投影向量和數(shù)量投影之間的聯(lián)系，涵蓋求解系數(shù)、模長、參數(shù)、角度等方面的問題. 這些問題通常需要通過逆向定義來解決，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生基于公式和解法，構(gòu)建等式或不等式，通過代數(shù)運算來突破.

教學(xué)總結(jié) 對于與投影向量、數(shù)量投影相關(guān)的不等式、等式以及恒成立問題，學(xué)生可立足基本定義和公式，結(jié)合代數(shù)簡算技巧轉(zhuǎn)化問題，關(guān)注其中的角度取值，逐層剖析求解. 在處理涉及幾何圖形的問題時，學(xué)生應(yīng)掌握幾何特性，并構(gòu)建相應(yīng)的向量模型.

教學(xué)反思，學(xué)習(xí)建議

1. 立足模型，知識講解

“投影向量”與“數(shù)量投影”是高中數(shù)學(xué)中較為特殊的知識內(nèi)容，它們相對抽象，學(xué)生理解起來存在一定的難度. 在教學(xué)中，建議采用模型輔助講解，并借助直觀圖形，從“數(shù)”和“形”兩大角度指導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)并理解定義. 在教學(xué)時，需要注意兩點：一是展示模型構(gòu)建的過程，并引導(dǎo)學(xué)生把握設(shè)定條件，合理轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)語言；二是注重知識定義之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生進行對比和區(qū)分，從而透徹理解定義.

2. 分層進階，應(yīng)用強化

定義教學(xué)的第二階段為應(yīng)用探究，因此教學(xué)“投影向量”與“數(shù)量投影”時，必須安排應(yīng)用探究環(huán)節(jié). 在此階段，教師應(yīng)運用“分層進階”的教學(xué)策略，幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識、總結(jié)解題方法，并在此基礎(chǔ)上拓展思路、發(fā)散思維. 問題的設(shè)計是此階段教學(xué)的關(guān)鍵，需要教師精選問題，從“基礎(chǔ)定義問題”開始，逐步過渡到具有挑戰(zhàn)性的“能力提升問題”.

3. 思維引導(dǎo)，綜合提升

在高中數(shù)學(xué)的定義教學(xué)中，教師要密切關(guān)注學(xué)生的思維活動，著力于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力. 特別要關(guān)注兩個階段：一是定義的構(gòu)建過程，結(jié)合合情推理和演繹推理，按照知識的生成過程設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生循序理解定義；二是問題的解析過程，引導(dǎo)學(xué)生逐步分析問題，整合題設(shè)條件，探索解題思路. 教師可以運用提問的方式，引導(dǎo)學(xué)生思考，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

結(jié)束語

關(guān)于“投影向量”與“數(shù)量投影”的深入探討，筆者建議采用專題教學(xué)法，圍繞模型構(gòu)建定義，總結(jié)公式及其求解方法，引導(dǎo)學(xué)生直觀理解. 在此基礎(chǔ)上，教師分層設(shè)計問題，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用知識并加以鞏固，同時注重知識的整合與合理拓展，從而提升學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.