基本不等式的學習方法探析

摘"要：“雙減”背景下的高中數學創新趣味性課堂，是通過教師創設情境教學環境，激發學生的學習興趣，從而達成良好的學習效果.本文以探究基本不等式的概念和性質為例，踐行創新趣味性課堂.課堂開始，教師通過實際生活中的例子，引導學生小組合作學習討論與思考基本不等式的應用價值.課堂教學中，教師組織學生分組進行探究實踐活動，帶領學生進行課堂練習，促進學生了解基本不等式解決實際問題的重要性.課堂結束前，教師給予學生課堂評價，從而提高學生的數學思維能力和解題能力，讓學生在輕松愉悅的氛圍中掌握基本不等式，為學生后續學習打下堅實的數學基礎．

關鍵詞：高中數學；趣味性課堂；基本不等式；學習方法

在高中數學教學過程中，教師利用創新趣味性課堂講解基本不等式時，首先，組織學生小組合作學習討論與分析基本不等式的概念、性質及其應用的教學內容；引導學生在課堂上進行練習，培養學生的推理能力和抽象思維能力.其次，根據自主探究、小組合作交流的學習過程，教師及時給予學生課堂評價，包括對學生學習過程的評價和課堂小組學習、師生互動學習的總結性評價.通過以上教學過程，教師幫助學生掌握基本不等式的學習方法，培養了學生的數學核心素養，提高學生的學習興趣和思維能力．

1"創新趣味性課堂教學視域下的基本不等式學習的幾個環節

“雙減”背景下，高中數學教師采用探究式學習和小組合作的方式，引導學生自主探究基本不等式的應用.首先，利用多媒體和數學軟件，展示基本不等式的基本內容，鼓勵學生積極表達自己的觀點和想法．

例如，①重要不等式：對于任意實數a，b，都有a²＋b²≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立.②基本不等式：ab≤a＋b2（a＞0，b＞0），當且僅當a＝b時，等號成立，其中a＋b2和ab分別叫作正數a，b的算術平均數和幾何平均數．

其次，教師啟迪學生的思維，拓展基本不等式的題型，為學生講解“基本不等式”ab≤a＋b2（a，b＞0）的應用.例如，兩個正數的和為定值時，它們的積有最大值，即若a＞0，b＞0，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤M²4，當且僅當a＝b時，等號成立；兩個正數的積為定值時，它們的和有最小值，即若a＞0，b＞0，且ab＝p，p為定值，則a＋b≥2p，當且僅當a＝b時，等號成立．

再次，教師引導學生自主練習如下習題.學生在小組合作學習中探究基本不等式.教師及時給予學生課堂評價，促進學生掌握數學知識，提升學生的學習積極性和自信心.

習題"設x，y滿足x＋y＝40，且x，y都是正數，則xy的最大值為（""）．

A. 400

B. 100

C. 40

D. 20

解析：xy≤x＋y2²＝400，當且僅當x＝y＝20時，等號成立，故選A.

最后，教師引入基本不等式使用的規律方法：①利用a＋b≥2ab時，一定要注意是否滿足條件a＞0，b＞0；②利用基本不等式a＋b≥2ab或

a＋b2≥ab（a＞0，b＞0）時，要注意對所給代數式通過添項配湊，構造符合基本不等式的形式.此外，結合學生的實際情況，及時調整學生的學習內容，幫助學生掌握基本不等式的概念和性質，培養學生的數學核心素養．

2"掌握基本不等式的學習方法的教學注意點

2.1"引導學生掌握判斷正誤的方法

教師應根據學生的實際情況設計教學內容，使學生能夠正確理解基本不等式的概念和性質，并能夠運用基本不等式的概念解決實際問題，通過如下判斷題，幫助學生加深對基本不等式的理解、運用和計算能力.^［1］

判斷題"（1）不等式a²＋b²≥2ab與ab≤a＋b2有相同的適用范圍.（）

（2）若a＞0，b＞0，則ab≤a＋b2恒成立.（）

（3）當a，b同號時，ba＋ab≥2.（）

（4）當x＞0時，1x＋x的最小值為2.（）

（5）已知m＞0，n＞0，且mn＝81，則m＋n的最小值為18．（）

在課堂教學中，教師通過引導學生進行判斷題分析，深入挖掘了基本不等式的知識，使學生在掌握基本不等式的基礎上，能夠靈活運用它解決實際問題.學生通過討論和思考，深入理解了基本不等式的概念和性質，掌握了如何根據基本不等式求最值等問題，提高學生的計算能力和邏輯思維能力．

2.2"引導學生掌握不等式成立的條件

教師采用多種教學方法和手段，幫助學生了解不等式成立的前提條件.在小組合作學習基本不等式的應用時，教師可以設置如下填空題引導學生分析問題、歸納總結，幫助學生提高邏輯思維能力，使學生對學習基本不等式產生興趣和信心，形成積極的學習態度，促進學生更好地掌握基本不等式的學習內容.

填空題"已知x，y都是正數，如果xy等于定值p（積為定值），那么當x＝y時，x＋y有最小值2p；如果x＋y等于定值S（和為定值），那么當x＝y時，xy有最大值14S².

2.3"利用基本不等式比較大小的注意點

在分析基本不等式概念時，教師可引導學生明確基本不等式的基本形式.此外，還可以通過講解不等式的例題，幫助學生掌握基本不等式比較大小的基礎知識．^［2］

例題"若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，則分析在a＋b，2ab，2ab，a²＋b²中最大的是""．

方法一：常規法.

解析：∵0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b.

∴a²＋b²＞2ab，a＋b＞2ab，a＞a²，b＞b².

∴a＋b＞a²＋b²，即最大的是a+b．

方法二：特殊值法.

解析：取a=12，b=13，則a²＋b²＝1336，

2ab＝63，2ab＝13，a＋b＝56，顯然56最大，即最大的是a+b．

教師可以引導學生利用基本不等式解決一些實際問題，如最值問題、平均值問題等.同時，教師還可以利用多媒體技術、數字化資源等手段，增強教學的趣味性和互動性，引導學生發現問題、分析問題和解決問題.在教學過程中，教師要關注學生的學習過程和情感態度，及時給予指導和鼓勵，增強學生學習的自信心．

2.4"掌握有關基本不等式的變式訓練

首先，教師引導學生學習基本不等式時，需要注重引導學生深入理解基本不等式的原理和應用方法.在利用基本不等式比較大小時，應創設應用基本不等式的條件，即對于任意的正實數a，b，有ab≤a+b2.只有在滿足這個條件時，才能使用基本不等式進行比較大小.

例1"已知m＝a＋1a-2（a＞2），n＝4-b²（b≠0），則m，n之間的大小關系是""．

解析：因為a＞2，所以a-2＞0.

又m＝a＋1a-2＝（a-2）＋1a-2＋2，

所以m≥2（a-2）×1a-2＋2＝4．

由b≠0得b²≠0，

所以4-b²＜4，即n＜4，所以m＞n．

其次，在教師引導學生掌握基本不等式的基本功能，即能夠將“和式”轉化為“積式”或者將“積式”轉化為“和式”.^［3］此外，還應強調基本不等式適用的情況，并結合具體問題選擇合適的方法.

例2"已知a＞b＞c，則（a-b）（b-c）與a-c2的大小關系是""""""．

解析：∵a＞b＞c，∴a-b＞0，b-c＞0.

∴（a-b）（b-c）≤a-b＋b-c2＝a-c2，

當且僅當a-b＝b-c，即2b＝a＋c時，等號成立．

2.5"利用基本不等式求最值的注意點

學生在利用基本不等式求最值時，應遵循教師歸納的基本不等式口訣中的“一正，二定，三相等”條件.教師引導學生勤于觀察例題具備的不等式條件，從而掌握求最值的學習方法．

例題"已知x＜2，求x＋4x-2的最大值．

解析：因為x＜2，所以2-x＞0，

所以x＋4x-2＝-2-x＋42-x＋2≤2＋

（-2）·（2-x）·42-x＝-2，

當且僅當2-x＝42-x，即x＝0或x＝4（舍）時，等號成立，

故x＋4x-2的最大值為-2．

教師通過利用基本不等式求最值的有效學習方法，以整式為基礎，利用系數的變化以及等式中常數的調整，做到等價變形.

2.6"利用基本不等式證明其他不等式

利用基本不等式證明其他不等式時，教師引導學生觀察題目中所證不等式的形式，若不能直接使用基本不等式，則考慮對代數式進行拆項、變形、配湊等，從而達到能使用基本不等式的條件；若題目中還有已知條件，則引導學生觀察已知條件和所證不等式之間的聯系，當已知條件中含有1時，要注意1的代換.另外，解題中要注意等號能否取到.

證明題"已知a，b，c均為正數，且a＋b＋c＝1．

求證：1a-11b-11c-1≥8.

證明：因為a，b，c均為正數，a＋b＋c＝1，

所以1a-1＝1-aa＝b＋ca≥2bca.

同理1b-1≥2acb，1c-1≥2abc.

上述三個不等式兩邊均大于0，相乘

得1a-11b-11c-1≥2bca·2acb·2abc＝8，

當且僅當a＝b＝c＝13時，等號成立．

教師引導學生在課堂練習后，對利用基本不等式證明題目的類型進行總結，得出結論：如果所證不等式一端出現“和式”，而另一端出現“積式”，這是應用基本不等式的“題眼”，可嘗試用基本不等式證明，在多次使用基本不等式時，注意等號能否成立；累加法常用來證明不等式時使用；對于不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用.

3"結語

教師引導學生開展基本不等式習題練習過程中，通過運用換元法，能夠實現有效變換不等式的目標；通過等量代換的方式，促進學生進一步掌握不等式變換的技巧.

教師引導學生在解題過程中巧妙使用“1”，配湊成可以應用基本不等式解決的問題，并與學生共同交流探討，深入溝通配湊法的適用題目類型和運用細節.同時，教師還需要注意引導學生獨立思考不等式的應用方法，培養學生的核心素養，訓練學生的數學建模能力，進一步鞏固學生對基本不等式的理解和應用能力．

參考文獻

［1］高明.新課改背景下高中數學基本不等式解題技巧研究［J］.數學大世界（中旬），2019（6）：81．

［2］呂曉君.新課改的背景下高中數學基本不等式解題技巧研究［J］.中外交流，2020（28）：287．

［3］趙碧云.淺析新課改下高中數學基本不等式解題技巧［J］.文理導航·教育研究與實踐，2021（10）：155-156．