新高考背景下數(shù)學解題教學的應(yīng)然追求、實然樣態(tài)與使然路向

【摘 要】新高考背景下的數(shù)學解題教學，應(yīng)當注重發(fā)展學生的核心素養(yǎng)，突出學生的高階思維培養(yǎng)，大力加強數(shù)學試題的應(yīng)用性、探究性、開放性教學。當前的數(shù)學解題教學存在著計劃性不強、對學生關(guān)注不夠、教學主旨不明等問題。數(shù)學解題教學要立足應(yīng)用性教學，加強問題的解法教法研究；立足探究性教學，提高學生的元認知水平；立足開放性教學，注重學生的高階思維培養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學；數(shù)學解題教學；應(yīng)用性；探究性；開放性；新高考

【中圖分類號】G633.6" 【文獻標志碼】A" 【文章編號】1005-6009（2025）07-0007-05

【作者簡介】1.段志貴，鹽城師范學院（江蘇鹽城，224002）數(shù)學與統(tǒng)計學院教授，碩士生導師；2.曹雨花，南京師范大學（南京，210023）教師教育學院碩士研究生。

新高考背景下的數(shù)學考試，在選拔人才中具有特殊的地位和作用，其試題歷來為大眾關(guān)注。改變試卷結(jié)構(gòu)，減少試題數(shù)量，降低計算量，創(chuàng)新試題設(shè)計，加強思維考查以及“反套路”“反二級結(jié)論”等導向，持續(xù)向中學數(shù)學教學釋放信號，希望改變以練代講的教學模式，重視基礎(chǔ)概念教學，降低學生反復、低效刷題的負擔。［1］數(shù)學解題教學是數(shù)學教學的重要活動之一。聚焦新高考的解題教學應(yīng)當充分關(guān)注新高考評價方式變革，減少盲目性，力戒教學誤區(qū)。那么，當前數(shù)學解題教學的追求為何，存在哪些問題，又如何實現(xiàn)教學方式方法革新呢？

一、新高考背景下數(shù)學解題教學的應(yīng)然追求

回顧十余年來的高考數(shù)學命題改革歷程，不難發(fā)現(xiàn)高考越來越注重對學生核心素養(yǎng)的考核，關(guān)注學生的能力培養(yǎng)和綜合素質(zhì)的提高，引領(lǐng)中小學教育教學改革的導向效應(yīng)也越發(fā)顯著。顯而易見，為適應(yīng)新高考改革形勢，數(shù)學解題教學也應(yīng)轉(zhuǎn)變觀念，明確育人目標，并注重應(yīng)然取向。

1.以發(fā)展學生核心素養(yǎng)為目標

學科核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現(xiàn)，更是每門學科高考的中心內(nèi)容。數(shù)學的抽象性、嚴謹性和廣泛的應(yīng)用性等特征，加之高考數(shù)學考試內(nèi)容的綜合性、開放性、挑戰(zhàn)性，決定了數(shù)學是高考各學科中最容易拉開差距的一門學科。近年來的新高考數(shù)學聚焦創(chuàng)新人才選拔，強調(diào)靈活性，突出對思維的考查，區(qū)分度顯著。基于這一現(xiàn)實，數(shù)學解題教學應(yīng)當以夯實基礎(chǔ)知識為本，加強關(guān)鍵能力培養(yǎng)，引領(lǐng)學生學會一題多解、一題多變，勤于反思，及時總結(jié)，著力發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)。與此同時，在解題教學中還要啟迪學生學會思考、積極探究，增強挑戰(zhàn)自我、征服困難的信心，注重培養(yǎng)勇于批判、敢于創(chuàng)新、堅韌不拔的意志品質(zhì)。

2.以培養(yǎng)高階思維為重點

培養(yǎng)學生思維，特別是高階思維，是數(shù)學解題教學的根本要求。所謂高階思維主要是指發(fā)生在較高認知水平層次上的心智活動或認知能力。與低階思維相比，高階思維具有目的性、針對性、挑戰(zhàn)性等特點。近幾年的新高考數(shù)學試題，無論在試題情境的豐富性、內(nèi)容的靈活性、方法的多樣性以及選項和設(shè)問的層次性上，都體現(xiàn)著對高階思維品質(zhì)的考查。為此，解題教學一定要大力培養(yǎng)學生的高階思維。在解題路徑的探索過程中，不但要讓學生知其然，更要知其所以然；不但要知其然，還要知其何以知其然，從中學會選擇方法，學以致用，融會貫通，直至能夠創(chuàng)新創(chuàng)造。

3.以加強“三性”教學為抓手

所謂“三性”指的是《教育部關(guān)于做好2024年普通高校招生工作的通知》中提出的“增強試題的應(yīng)用性、探究性、開放性”要求。“三性”是高考重思維、重創(chuàng)新、考能力、考素養(yǎng)在數(shù)學試題中的具體落實，是體現(xiàn)數(shù)學學科核心素養(yǎng)和考查學生問題解決能力的重要指標。它們既相互獨立，也彼此關(guān)聯(lián)，時常在同一道試題求解的過程中交互運用。數(shù)學解題教學既要重視夯實“四基”，更要加強對學生問題解決能力的培養(yǎng)，這就要求我們認真領(lǐng)會教育部關(guān)于數(shù)學試題改革的要求，把新高考試題“三性”要求落實在具體的解題教學過程之中：一要注重活學活用，增強應(yīng)用性，凸顯數(shù)學學科的應(yīng)用價值；二要注重探索與發(fā)現(xiàn)，增強探究性，提高學生的問題解決能力；三要注重綜合和創(chuàng)新，增強開放性，提升學生解題思維的開放度和靈活性?。

二、新高考背景下數(shù)學解題教學的實然樣態(tài)

新高考反套路、反機械刷題，極大地增強了試題的靈活性、綜合性、開放性。新高考背景下的解題教學無論是例題選取還是教法選擇都需要基于學情特點，加強針對性，注重實效性。然而，當前數(shù)學解題教學存在一些問題，主要表現(xiàn)在以下三個方面。

1.缺少深入研究，例題選擇的計劃性不強

有些教師不能根據(jù)學生的學業(yè)水平和學習能力選取例題，因而選取的例題缺乏典型性和適切性。有些教師不太關(guān)注目標，解題教學的指向性、計劃性不強，偏愛一題多解，對于有的題目少則給出三四種方法，多則給出十幾種方法，很少考慮這些方法能否被學生真正理解和吸收。有些教師缺少對通性通法的研究，熱衷于講授解題技巧和二級結(jié)論。有些教師在備課的時候花費大量時間精力去查找新題型、新解法，引導學生套路化解題。長此以往，必然會使得一部分學生解題思維僵化，缺乏靈活性，難以對問題進行深入分析。學生往往課上能聽懂，但課后當題目稍有變化時就無所適從了。

2.對學生關(guān)注不夠，忽視學生的元認知培養(yǎng)

元認知是指認知主體對自身心理狀態(tài)、能力、任務(wù)目標、認知策略等方面的認識，對自身各種認知活動的計劃、監(jiān)控和調(diào)節(jié)。元認知能力是數(shù)學解題的必備要素，尤其對于有一定難度的問題的解決，更是發(fā)揮著重要作用。實踐中，有些教師在講題時不能基于學情特點關(guān)注學生所思所想，不重視學生的情感體驗和克服困難的毅力培養(yǎng)；缺少對學生解題思維的研究，很少關(guān)注學生解題的思考方式、思維的遷移路徑以及解題過程中的常見障礙。他們就題論題，缺少對例題背景、意圖的分析，缺少對解題（或證明）思路的探索，缺少對例題解構(gòu)、歸類的總結(jié)和反思，無法幫助學生建構(gòu)起良好的概念圖式、原理體系、認知結(jié)構(gòu)。一些教師缺少對學生群體的關(guān)注，教學時要么是“唱獨角戲”，要么只與少數(shù)幾個優(yōu)秀學生進行對話，對中等偏下學生在解題過程中出現(xiàn)的一些錯誤或混亂的思維，缺少分析研究，更談不上及時反饋、查漏補缺了。

3.教學主旨不明，教師講解失策，欲速則不達

數(shù)學解題教學的主要任務(wù)不在于教“解”而在于教“學解”［2］，因此解題教學也須遵循一定的教學規(guī)律。有些教師對教材例題或補充的例題很少進行生本化加工，經(jīng)常是照本宣科。有些教師缺乏對新高考試題導向的關(guān)注，對新高考試題的應(yīng)用性、探究性、開放性等要求了解甚少，喜歡傳授“怎么解”，而對“為什么這樣解”“中間會遇到哪些挫折又是如何克服的”的重視不夠，缺少對解題方法的啟發(fā)式引領(lǐng)，缺少對解題路徑的探究過程、解題可能遭遇的困難及不同解法優(yōu)劣的比較分析。有些教師的解題教學課堂題量多、難度大，他們很少考慮教學應(yīng)當教些什么，信奉題海戰(zhàn)術(shù)，卻疏于思路的探索、思維的暴露和數(shù)學思想的滲透；不去思考多講一種方法與少講一種方法有什么不同，習慣于讓學生記憶各種題型和二級結(jié)論。久而久之，就會導致學生思維固化，應(yīng)變能力降低。

三、新高考背景下數(shù)學解題教學的使然路向

如果說瞄準目標、明確應(yīng)然追求是解題教學的出發(fā)點，那么立足實然樣態(tài)、走出困境就是解題教學的發(fā)力點，是指導我們進一步做好新高考背景下解題教學的使然路向。

1.立足應(yīng)用性教學，加強問題解法教法研究

應(yīng)用性教學不限于應(yīng)用題教學，更廣泛意義上的應(yīng)用性教學指的是數(shù)學知識技能及其思想方法在數(shù)學解題及教學上的活學活用。“工欲善其事，必先利其器。”數(shù)學思想方法及相關(guān)原理就是數(shù)學解題的“器”，諸如化歸、類比、審美等思想，以退求進、回歸定義、正難則反等策略，特殊化、一般化、數(shù)形結(jié)合等方法，［3］它們是解題教學的精髓所在。如果教師課前不深入研究題目，不明了教學目標，如何能把解題思想清晰地表達出來？如果教師不知道一題多解與多題一解背后的規(guī)律性，何以發(fā)展學生的高階思維？

因此，為了提高教學實效，教師首先自己要對例題的典型性、思想性、結(jié)構(gòu)性有深入的研究，對每道題目的知識點構(gòu)成、難度系數(shù)、可能的解題方法及解題誤區(qū)都要有清晰的把握。有些例題是為了鞏固基礎(chǔ)知識和基本技能，有些例題則是為了提高學生的理解能力，有些綜合性問題則是側(cè)重發(fā)展學生的思維水平。例如，要選擇這樣一道證明題“求證：cos[π7] - cos[2π7] + cos[3π7] = [12]”作為例題在課上講解，教師在課前就應(yīng)去研究這道題出自何處，涉及哪些思想方法，可否一題多解，能否進行拓展和引申。如果選用本題作為一道例題講解，那么應(yīng)該安排在哪個單元、哪節(jié)課講解比較合適等。

除了對例題解法、結(jié)構(gòu)、功能等進行研究，教師還應(yīng)在課前從方法論的視角研究教法，引領(lǐng)學生提高活學活用的能力。俗話說得好，“只有老師跳進題海，才有學生跳出題海”。要深入研究如何引領(lǐng)學生學會找準問題，分析從哪里入手，哪里是起點，如何審題，如何從條件與結(jié)論之間的差異入手尋找關(guān)聯(lián)，如何利用解題直覺，如何突破瓶頸，如何才能會一題、通一類、達一片等。對于有些題目，可以轉(zhuǎn)換背景，幫助學生建立知識點之間的關(guān)聯(lián)。對于有些題目，如果教學進程尚未跟上，可以進行適當改編，以突破章節(jié)限制。教師要仔細審視題目中不同知識之間的交匯與融合，分析“四基”考點和“四能”要求，解構(gòu)發(fā)展高階思維的方法或路徑。同時要充分發(fā)掘題目中蘊含的數(shù)學思想方法及其發(fā)生、發(fā)展主線，對可能的思維路徑要有預(yù)測，對啟發(fā)性引導語有提前謀劃，對可能的錯誤要探究源頭。

2.立足探究性教學，提高學生的元認知水平

數(shù)學解題應(yīng)當合乎學生的認知規(guī)律和心理年齡特征，以人本的方式漸進展開，使學生自然而然地發(fā)現(xiàn)、想到和悟到。［4］在數(shù)學解題教學中，教師要注重運用元認知訓練學生的關(guān)鍵能力，發(fā)展他們的學科核心素養(yǎng)。

一方面，要著眼于理解性探究，助力學生習得元認知知識。解題教學中的元認知知識即學生對自身解題技能及其相關(guān)策略的認知。加強解題教學的元認知知識建構(gòu)，就是要著力提升學生的數(shù)學語言轉(zhuǎn)譯能力，啟發(fā)學生善于拆分試題內(nèi)容，搭建轉(zhuǎn)譯思路；利用提示語言，破譯隱含條件；依據(jù)已有解題經(jīng)驗對題目所蘊含的語義進行理解和加工，從而建構(gòu)不同變量之間的聯(lián)系，開辟已知條件與待求（證）結(jié)論之間的通道。顯然，要證明“cos[π7] - cos[2π7] + cos[3π7] = [12]”，需要啟發(fā)學生通過觀察，學會思考，建構(gòu)同名異角三角函數(shù)之間的聯(lián)系，再現(xiàn)三角函數(shù)和差化積、復數(shù)、向量等知識要義以及數(shù)形結(jié)合、恒等變換、運算化簡等技能運用，從而為順利解題奠定必要的元認知基礎(chǔ)。

另一方面，要著眼于基礎(chǔ)性探究，豐富學生的元認知體驗。當學生在解題中遭遇挫折與失敗時，教師應(yīng)引領(lǐng)學生重新審視解題路徑，對相關(guān)解題方案進行調(diào)整、修正或重建，制定切實可行的解題計劃和目標。要充分考慮學習者的認知水平、個性特征和學習習慣，合理確定學習者的認知起點、學習動機。要幫助學生建立解題信心，克服認知和情感上的畏難情緒。要引領(lǐng)學生多維度思考問題，能夠從一題多解到優(yōu)化解法，豐富解題體驗，積累解題經(jīng)驗。就“cos[π7] - cos[2π7] + cos[3π7] = [12]”的證明而言，其運算過程、表征轉(zhuǎn)換、化簡技巧等都可以讓學生從中感悟解題策略的獲得、意志的磨礪以及成功的喜悅，為發(fā)展靈活性、批判性、創(chuàng)造性等高階思維奠定基礎(chǔ)。

再一方面，要著眼于拓展性探究，提升學生的元認知監(jiān)控水平。元認知監(jiān)控指在解題進程中，對自我問題解決過程的思維方向、對問題解決的思維、對思維活動策略進行調(diào)整、修復及更正。例如，雖然通過三角函數(shù)和差化積能夠證得“cos[π7] - cos[2π7] + cos[3π7] = [12]”，但過程比較煩瑣，教師接下來就要引導學生思考能否尋找其他證明方法。教師要引領(lǐng)學生讀懂題意，嘗試新解法，探尋多維度、多層次解題路徑；要注重修正解題錯誤，引導學生適時進行自我診斷與反思、探究與批判；還要通過變式拓展，提出新的、更有挑戰(zhàn)性、更有價值的問題，增強學生的思維張力。

3.立足開放性教學，注重學生高階思維培養(yǎng)

基于解題教學的視角，培養(yǎng)學生高階思維最重要的就是要加強開放性教學，幫助學生開辟思維通道、開闊思維空間、開拓思維活力、開發(fā)思維潛能。

首先，通過發(fā)問，開辟思維通道。波利亞的“怎樣解題表”中的四個步驟都是通過發(fā)問建構(gòu)起來的。發(fā)問可以幫助學生確認解題癥結(jié)，建立解題信心，也能為問題的化解找準前行的方向。已知條件解讀、變量關(guān)系梳理、核心概念厘定等，都可以成為解題需要盤根問底的重點對象，都可以成為解題教學的發(fā)問點。如果“求證：cos[π7] - cos[2π7] + cos[3π7] = [12]”始終不能得法，通過發(fā)問，學生就會思考等式的左邊能否進行恒等變形。這是直覺，是解題的起步，也正是初始狀態(tài)需要化解的癥結(jié)所在。學生的憤悱之時就是發(fā)問的最佳時機。立足學生立場，指向?qū)W生感知，引領(lǐng)學生思維同步推進的問題視角就是最好的發(fā)問角度。

其次，基于發(fā)現(xiàn)，開闊思維空間。只有發(fā)問未必能發(fā)現(xiàn)問題解法，還需要解題者擁有扎實的數(shù)學基本功以及豐富的解題經(jīng)驗。解題發(fā)現(xiàn)是捕獲解題路徑的關(guān)鍵。教師要引導學生想方設(shè)法把待解決的問題與熟悉的或者一些簡單的問題聯(lián)系起來，在它們中間架設(shè)橋梁，建立聯(lián)系。對于“cos[π7] - cos[2π7] + cos[3π7] = [12]”左邊進行恒等變形后，學生很快就會發(fā)現(xiàn)通過和差化積公式、倍角公式等進行逐步化簡、變形就能使命題得證。解題教學本質(zhì)上就是要引領(lǐng)學生在交流、討論、辨析、探索、聯(lián)想等活動過程中，體驗解題思路的漸進獲得和解題能力的不斷提升。為此，教師要善于運用啟發(fā)性語言調(diào)動學生參與解題過程，充分激發(fā)他們的解題智慧。

再次，借助發(fā)省，開拓思維活力。當發(fā)現(xiàn)解法并實現(xiàn)了解題目標后，就可以尋找更為簡潔的解題方法或路徑。基于發(fā)問，并結(jié)合相關(guān)發(fā)現(xiàn)進行解題發(fā)省，厘清問題本質(zhì)及其解答的來龍去脈，明晰被征服的困難的實質(zhì)，梳理問題、方法和理論之間的聯(lián)系，這不但可以提高解題正確率，而且也能促進學生認識解題規(guī)律，掌握解題關(guān)鍵。還以“求證：cos[π7] - cos[2π7] + cos[3π7] = [12]”為例，在借助恒等變形化簡等式左邊后發(fā)現(xiàn)同為余弦函數(shù)的三個角之間具有倍角關(guān)系，可否利用這一關(guān)系進行數(shù)形轉(zhuǎn)換，開辟另解之路呢？又可否利用復數(shù)或向量進行求解呢？由此，通過深入發(fā)省，引發(fā)進一步思考，把解題教學引向深入。顯然，解題教學中遭遇的解題錯誤、煩瑣解法或奇思妙想，都是解題發(fā)省的重要抓手。

最后，謀劃發(fā)展，開發(fā)思維潛能。在有限時間里講解的任何一道題都不應(yīng)止于答案的獲得或者解法的發(fā)現(xiàn)，而應(yīng)因勢利導，對原題進行適度的拓展和延伸，例如變換條件結(jié)論，歸納和提煉出更多具有相關(guān)性、相似性、相反性的新問題等，從而激發(fā)學生潛能，促使其進一步探索和揭示問題本質(zhì)，發(fā)展解題思維。還以“求證：cos[π7] - cos[2π7] + cos[3π7] = [12]”為例，基于上述通過數(shù)形結(jié)合、復數(shù)法，特別是向量法的求解后，可以引導學生對問題進行引申性思考——如果是在一個單位圓上有2n+1個分布均勻“合力平衡”的向量，則可以怎樣推廣原命題，從而獲得類似原題結(jié)構(gòu)的一般性結(jié)論及其證明思路。事實上，解題教學本就是一個引領(lǐng)學生獲取解題經(jīng)驗的過程，發(fā)問、發(fā)現(xiàn)、發(fā)省、發(fā)展四個階段相輔相成，共同助推學生解題思維進階和解題能力的螺旋式提升。

【參考文獻】

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［4］杜海燕，呂增鋒.追求自然的數(shù)學解題教學：由“一題一課”評比引發(fā)的思考［J］.福建基礎(chǔ)教育研究，2024（5）：51-54.