2025年高考專題——新定義題部分

【摘要】文章闡述了高中數學新定義題的特點，并編擬了12道高中數學新定義模擬題（其中8道是筆者原創），還給出了針對高中數學新定義題的備考策略.

【關鍵詞】高中數學；新定義題；原創；模擬題；備考策略

1高考數學新定義題的特點

2024年高考新課標全國Ⅰ卷第19題（文獻[1][2]均給出了題1第（3）問中Pm的準確表達式）就是典型的高中數學新定義題（下簡稱新定義題）：源于題中出現了新定義“（i，j）—可分數列”.

筆者認為，新定義題的最大特點是：在該題中先給出一個或幾個新定義（有時不是新定義，也可以是新情境、新結論（下同），比如下文的題12），但不宜超過兩個新定義，否則就大大增加了題目難度.這些新定義一定是高中生在教材中沒學過的，但可以與教材中的內容相關;再解決與該新定義相關的問題：可以是判斷、證明相關問題是否滿足該新定義，也可以解決與該新定義相關的問題，比如研究其性質等等.

新定義題往往文字量大、信息量多、設問數量多、情境新穎復雜、背景深刻、綜合性強、解答難度大且復雜.研究性強也是新定義題的重要特點：該題往往是數學愛好者的研究結果，或是研究過程中的部分結果且適合編擬成新定義題，還可繼續研究該題的解法并尋找新解法、對該題的結論可再推廣并提出新問題.

北京高考數學卷從2002年開始自主命題，其鮮明特色就是新定義題居多，在選擇題、填空題、解答題的壓軸題中體現得最為明顯；上海高考數學卷從1985年開始自主命題，也涌現了不少優質新定義題.實際上，在高中數學的各個知識板塊、各種考試題型（還包括數學文化試題、劣構試題等）中均可編擬大量的新定義題.

212道高考數學新定義模擬題（其中8道是筆者原創）

題5北京市豐臺區曉月新城小區內的清大康潔節水型社區水站（水質由清華大學環境質量檢測中心權威檢測）供應三種水質的飲用水：弱堿水1.00元/升，純凈水0.70元/升，軟水0.40元/升.超超及爸爸和媽媽一家三口都住在該小區，且一直飲用該水站的水，但對這三種水質的水完全不了解.

一天早上，超超對爸爸和媽媽說，我們社區水站有三種不同價格的水，今天我把它們都取了一桶（每桶都是7.5升，它們在外觀上完全一致，超超在這三個桶的隱蔽處作了相應的記號，包括超超在內的一家三口都只有看到了記號才能確定這桶水的水質，都不能通過品嘗來確定該水的水質，品嘗后只能隨機猜測該水的水質），今天我們僅憑自己的口感來猜測這三桶水的水質.

3針對新定義題的備考策略

3.1夯實基礎

考生要重視“夯實基礎”（包括培養閱讀試題并進行等價轉化的能力［4］），因為夯實基礎（包括培養較強的運算能力：“會做”與“做對”不一樣）是解決新定義題的前提．它可以助力考生在考試中先盡快拿到該題的基礎分（比如第一問的分數），同時也為解答該題的后續問題贏得了寶貴的時間．

3.2深度拓展

考生要盡可能地深入掌握集合的描述法、數列的前n項和及通項公式的求法、不等式理論（比如理解均值不等式、柯西不等式、權方和不等式、排序不等式、加權平均值不等式、Jensen不等式、Hlder不等式及其內在聯系）；熟練掌握并運用初等數論（包括數的整除及簡單的不定方程）中的基礎知識．

高等數學中的重要概念，比如《數學分析》中的極限、連續（一致連續）、級數及其收斂、中值定理、定積分與不定積分、差分算子；《高等代數》中的矩陣及逆矩陣、行列式、線性變換、二次型、群（環、域）、《解析幾何》中的極坐標系、曲線的平移（旋轉）變換、重要曲線的參數方程、重要曲面的概念及方程等都可能成為新定義題的源泉，考生要盡可能地提前學習它們，爭取做到“見多識廣”.

另外，考生還要“火眼金睛”，能迅速看出試題中的“新定義”，這對解答該題起著關鍵作用.比如2024年高考新課標全國Ⅰ卷第8題的背景就是“新定義”Fibonacci數列.

3.3多做真題

新定義題以“新定義”及數學中的相關知識（比如集合、數列、不等式等）為載體，考查考生解決綜合問題的能力.一般來說，高考數學試卷中的新定義題較其他試題差別較大：在高中數學教材中幾乎找不到其原型，在日常教學中也難以找到其解法的蹤影（所以其得分率非常低）.建議考生從高一就開始訓練新定義題且多做高考真題，比如北京、上海高考數學試卷中的新定義題（不僅僅是全卷中的壓軸題）.

很多高考數學模擬題中的新定義題質量不高：它們只是形式上的“新定義”題但很不“和諧”，命制粗糙、定義是照搬的且遠超高中生的理解能力、題目敘述冗長且題意不清晰、背景不深刻、難度太大（幾乎所有考生連該題的基礎分都得不到，導致絕大部分考生看都不看該題一眼）.因而，建議訓練模擬題中的新定義題時要先甄別后研究（包括完成解答），與高考相差太遠的題要果斷舍去.對于能力強的高中生，可適當做一些重點高校（清華大學、北京大學等）的強基計劃（自主招生）真題、全國高中數學聯賽（一試）試題，這對新定義題的訓練也大有好處.

3.4盡早規劃

俗話說，預則立，不預則廢.考生要想如愿考上頂尖名校，做好新定義題的復習備考是必由之路.考生對新定義題要有比較全面深入的了解、提前做好規劃、及時行動、充分應變，并在做中體味、修正、總結、提高．

參考文獻

[1]張翼飛，夏建國.關于2024年全國新高考Ⅰ卷第19題中Pm的探求[J].數學通報，2024（7）：52-54.

[2]嚴興光，陳利民.重視研究方法突出素養導向：2024年高考數學新課標Ⅰ卷第19題教學啟示[J].中學數學教學參考（上旬），2024（10）：61-64.

[3]甘志國.7道原創高考數學新定義模擬題[J].中學數學雜志，2024（5）：53-57.

[4]甘志國.強烈推薦兩種數學考試題型：閱讀題和作文題[J].中學數學（高中），2010（4）：11-15，63.

作者簡介甘志國（1971—），男，湖北竹溪人，研究生學歷，正高級教師、特級教師、湖北名師、政府專項津貼專家、北京民進名師專家團專家、中國教育專家網高級專家、甘志國特級教師工作室主持人；2018年7月2日，北京市豐臺區教育委員會召開了“北京市特級教師甘志國教育科研研討會”；對高考數學試題及重點高校強基計劃數學試題研究深入，鉆研教法與學法，總結提出并踐行“懂、會、熟、巧、通”五步解題學習法，“思、探、練、變、提”五步解題教學法，“知、懂、熟、用、賞”五種解題境界及高中數學教學的四個關鍵詞“夯實基礎、激發興趣、著眼高考、適當提高”，倡導教師要做明師——明白的教師；已發表文章多篇（2016—2024年均發表了北京高考數學試題綜述文章），已出版獨著61冊（其中27冊署名“甘志國著”）.