問題導學促探究 素養提升展成效

［摘 要］“橢圓及其標準方程”作為章節起始課，問題設計需體現大單元教學理念，注重提升學生的數學學科核心素養。在探究橢圓概念及推導橢圓標準方程時，應以問題為導向，融合信息技術于課堂教學，突破教學重難點，促進學生思維能力及數學學科核心素養的提升。

［關鍵詞］問題導學；核心素養；橢圓

［中圖分類號］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2025）02-0007-04

2022年11月下旬，某校舉辦了三校聯合新課改教研活動。來自三所示范性高中的三位教師展示了“橢圓及其標準方程”的教學設計，并進行了“同課異構”教學展示。三位教師均圍繞橢圓概念的生成和橢圓標準方程的推導展開教學，但各有側重，有的側重概念形成，有的側重方程推導，有的側重知識應用。三節課各具特色，亮點紛呈。在“三新”背景下，秉承“以生為本”的教學理念，筆者以其中一位教師的教學展示為例，探討如何在教學設計中提升學生的數學學科核心素養。

一、教學課例

（一）課題的引入

教師利用多媒體，直觀呈現“天問一號”探測器繞火星飛行的路徑、發電廠冷卻塔、“中國天眼”等圖像，并從數學建模角度抽象出其中的數學曲線。

導入：這就是我們接下來要研究的圓錐曲線。那么，為什么它們被稱為圓錐曲線呢？接下來，我將通過[GGB]幾何軟件為大家演示。演示結果顯示，當圓錐的軸與截取平面垂直時，截口曲線是圓形；當圓錐的軸與截取平面非垂直時，得到橢圓、拋物線和雙曲線這三種截面。這些截面，都被統稱為圓錐曲線。

問題1：上一章我們是如何利用坐標法研究圓的？

在探討圓錐曲線的研究路徑時，教師引導學生獨立思考、交流討論，通過類比圓的研究過程，確定圓錐曲線的研究步驟：首先從現實背景出發，形成圓錐曲線概念；接著，推導圓錐曲線的方程；然后，探討圓錐曲線的性質；最后，將所學知識應用于實際生活。

（二）橢圓概念的生成

教師利用[GGB]幾何軟件設計了橢圓生成的探究實驗，并引導學生參與其中。

教師首先展示了圓的形成過程：將兩個固定點重合，并繞固定點拉動套有鉛筆的繩子，筆尖留下的軌跡形成了一個圓形。

問題2：將兩個固定點拉開一定距離并再次固定，繩子被拉緊并移動筆尖，會得到怎樣的軌跡呢？

教師邀請幾名學生上臺，讓他們嘗試移動筆尖，觀察運動過程中形成的橢圓形軌跡。

問題3：若改變兩個固定點的距離，會得到怎樣的軌跡呢？

教師鼓勵學生動手嘗試去改變兩個固定點的距離，并觀察運動過程中的變化量和不變量。

問題4：假設繩子的長度發生改變，那么繪制出來的軌跡會是怎樣的曲線？

師生共同探索了橢圓形成的條件，通過實驗和觀察，逐漸揭示了橢圓的本質特征。

問題5：由此你能抽象出確定橢圓的幾何元素嗎？

在教師的引導下，學生分析得出：盡管筆尖到兩個固定點的距離會變化，但這兩個距離的總和保持不變，且等于繩子的長度。由此確定橢圓的幾何元素為兩個定點以及動點到兩個定點的距離之和為恒定值。

問題6：你能否根據橢圓的幾何特征來定義橢圓？

在教師的引導下，學生嘗試用精確的數學術語來定義橢圓。

（三）橢圓標準方程的推導

問題7：有了橢圓的定義，接下來應該研究什么？

讓學生明白接下來研究的是橢圓標準方程的推導。

問題8：使用坐標法求曲線方程的步驟是什么？

教師回顧了求曲線方程的基本步驟，并明確了建立橢圓方程的大致流程：建系、設點、找已知條件、將條件坐標化、化簡方程、檢驗方程。師生一起完成前面四個步驟。

追問1：觀察方程[（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a]的結構，你認為該怎樣化簡方程？

針對這一難點，教師設置了一個自主學習環節。先由學生思考并嘗試化簡，然后展示他們常見的兩種化簡方法：（1）兩邊直接平方；（2）將其中一個根號移到等式右邊再平方。由于方法（1）會出現高次方根，較為復雜，難以繼續化簡，于是教師引導學生嘗試方法（2）。在此過程中，教師關注學生的解答障礙，分步引導，幫助學生逐步完成推導。

追問2：方程[x2a2+y2a2-c2=1]還可以更加簡單嗎？

追問3：你能從圖1和圖2中找出表示[a，c，a2-c2]的線段嗎？

教師和學生共同解決了提出的問題，推導出了焦點在x軸上的橢圓的標準方程。隨后，教師引導學生總結了推導焦點在軸[x]上的橢圓標準方程的過程及步驟，特別強調在化簡帶兩個根號的表達式時，采用先移項再平方的方法較為有效。

接著，教師提出問題9：那么焦點在[y]軸上的橢圓的標準方程又是怎樣的呢？

最后，教師布置了課堂練習：請結合圖2推導焦點在[y]軸上的橢圓的標準方程。

練習：[因為MF1=]" " " " " " "，[MF2=]" " " " " " " " ，

[所以MF1+MF2=]" " " " " " " " " " " " " " " " " "。

移項

平方

化簡

再平方

化簡

最后

在課堂練習中，學生學習并模仿了推導焦點在[x]軸上的橢圓標準方程的過程及步驟，隨后推導出了焦點在[y]軸上的橢圓標準方程。教師展示了學生的推導過程，并發表了見解，指導學生比較了橢圓的兩個標準方程的異同點。

（四）課堂小結

教師：本節課我們主要學習了哪些知識？涉及了哪些數學思想和方法？

課堂結束前，教師簡要總結了授課內容。

二、課例點評

（一）體現單元教學理念

本節課在三個方面體現了大單元教學理念：

（1）在引入情境時，教師利用GGB幾何軟件動態展示并講解圓錐曲線的概念。教師從大單元視角出發，幫助學生整體構建知識框架，聯系前后知識，以便學生更好地理解新知，提升數學學科核心素養。

（2）本節課通過問題1引導學生回顧圓的研究過程。因為橢圓的內容架構、研究過程和研究方法與圓基本一致，所以教師通過類比圓的研究路徑，引導學生猜想圓錐曲線的大致研究過程。這體現了“研究對象變，研究套路和思想方法不變”的規律。通過借鑒先前知識，學生可以明確圓錐曲線的基本研究路徑，全面把握本章內容及結構。

（3）在課堂小結時，教師特別強調了數形結合思想，并指出運用坐標法和類比法對于學生學習雙曲線和拋物線的重要性，為后續大單元教學做準備。

【優點與不足】本節課采用GGB幾何軟件動態展示圓錐曲線的由來，相關教學設計體現了大單元教學理念，值得肯定。但由于課程內容較多，教師快速拉動平面完成了此環節。

【改進】邀請學生上臺操作GGB幾何軟件，直觀感知圓和圓錐曲線之間的內在聯系。此方式能吸引學生參與課堂活動，增強學生的親身體驗，從而提升教學效果。

（二）注重發展學生的數學學科核心素養

本節課的教學設計多處體現數學學科核心素養的落實。

（1）利用多媒體展示“天問一號”探測器繞火星飛行的路徑、發電廠冷卻塔、“中國天眼”等圖像，讓學生體會圓錐曲線在生產生活中的廣泛應用，關注科技發展，潛移默化地培育學生的愛國情懷，同時提升學生的數學建模和直觀想象素養。

（2）運用GGB幾何軟件，引導學生直觀觀察，感受圓與圓錐曲線的內在聯系，培養學生的直觀想象素養。

（3）通過從具體情境中抽象出橢圓的模型，培養學生的數學建模、邏輯推理、數學抽象等核心素養。

（4）推導橢圓的標準方程，提升學生的數學運算素養。

【優點與不足】（1）教師試圖通過問題1引導學生回顧圓的研究過程，并類比圓的研究方法探究圓錐曲線的基本研究路徑，以整體把握本章學習內容與基本框架。然而，在實際教學中，當教師提出問題1時，無學生應答，這說明問題的難度超出了學生的認知范圍，教師在備課時沒有充分考慮學情，對問題的難度預估不足。

（2）在處理問題2、問題3、問題4和問題5時，教師僅讓幾個學生通過拖動橢圓的方式就揭示橢圓的特征，這一過程過于簡化，導致其他學生的參與度不足。

（3）教師巧妙設計，讓學生模仿焦點在[x]軸上的橢圓標準方程推導，自主推導焦點在[y]軸上的橢圓標準方程，成為課堂亮點。通過模仿，學生克服了計算難題，體驗了成功的喜悅，增強了學習信心。在突破帶兩個根號的等式化簡難點時，學生的數學運算素養得到了提升。然而，教師課堂把控能力不足，未能引導學生在預設時間內完成練習，對于一節優質課而言，時間分配不夠合理。

【改進】設計小組探究實驗；每組分配一至兩臺平板電腦，確保實驗設備充足。教師設計詳細的實驗表格，明確列出活動要求、環節和流程，并指明需關注的相關量。實驗過程中，教師應給予清晰指導：（1）移動動點[P]，觀察并記錄所繪軌跡圖形；（2）改變參數[a]與[c]的值，再次移動動點[P]，觀察并記錄所繪軌跡圖形。強調動手操作時，需區分不變量和變化量。特別關注不變量，分析圖像共性，抽象出本質屬性，進而形成概念。

在教學設計中融入“先猜測，再推導驗證”的環節，鼓勵學生基于已有知識或直觀感受對問題進行猜測，然后通過數學推導進行驗證，從而培養學生的邏輯思維和探究能力。為了加深學生對“建系不同，會產生不同方程”的理解，設計問題9：如果焦點F1，F2在y軸上，且F1，F2的坐標分別為（0，-c）和（0，c），其中a，b的意義與之前相同，那么此時橢圓的標準方程是什么？你能不做具體推導直接得出結論嗎？通過師生之間的交流總結，利用焦點關于直線[y=x]的對稱性來簡化推導過程直接得出在y軸上的橢圓的標準方程。具體的推導過程可以安排在課后完成，這樣可為課堂上的思考、探究等環節贏得寶貴的時間。提供第三種化簡帶兩個根號的等式的方法，即利用平方差公式去根號。這種方法既可以作為課堂內容的補充，又可以作為課后拓展，幫助學生掌握更多的化簡技巧，進一步提高他們的數學運算素養。

（三）發揮信息技術的作用

本節課，教師展現了出色的信息技術運用能力，有效激發了學生對數學學習的熱情，并鼓勵他們積極探索。教師運用GGB幾何軟件這一現代信息技術，成功突破了教學難點，即圓錐曲線的理解和橢圓概念的建構。

【優點與不足】通過GGB幾何軟件，學生能夠輕松進行實驗操作，并通過改變參數a，c的值繪制出不同的橢圓，直觀感受動點的動態變化規律。在此過程中，學生抽象出了橢圓的幾何要素，生成了橢圓的概念，有效突破了教學難點。然而，遺憾的是，學生動手操作的機會較少。

【改進】針對課本探究內容，增設一個學生動手操作的實驗，明確實驗方案，讓學生通過小組合作交流，完成實驗表格。在引導學生使用GGB幾何軟件時，教師應給予學生充分的探索時間，鼓勵他們反復嘗試、觀察、討論和思考。針對學生在實踐中提出的問題，教師應及時引導解決，促進學生思維能力的提升。通過親身經歷橢圓的生成過程，學生可以深刻感受到信息技術在研究圖象中的重要作用，體會到數學軟件的強大功能，同時培養直觀想象和數學抽象素養。

三、幾點感悟

在本節課中，執教教師親和力強，激情四溢，能熟練運用信息技術，問題導學及核心素養導向明確，有效促進了學生數學學科核心素養的提升。為進一步提升教學效果，教師需深入鉆研教材，把握教材編排意圖，同時加強對學生特點的研究，從學生角度出發設計教學環節，給予學生充足的思考時間。在課堂教學中，數學學科核心素養的落實可從以下三個方面著手：（1）注重知識的前后聯系，樹立單元教學意識；（2）以問題為導向，培養學生的思維能力；（3）加強信息技術與課堂教學的融合。

在教學實踐中，教師還應創設合適的情境，提出合理的問題，引入新的思路和方法。比如，化簡帶兩個根號的等式的第三種方法（利用平方差公式去根號）的學習，需要較高的領悟能力，在課后供有學習潛力的學生練習，以激發學生思考和交流，發展學生的數學思維，促進學生數學學科核心素養的提升。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

[1]" 安振亞.從課例點評談青年教師如何上好一節課[J].中國數學教育，2020（6）：33-35，39.

[2]" 常磊.技術助力教學" " 探究提升素養：“函數[y=xa-logxb]的圖象與性質”課例點評[J].中國數學教育（高中版），2023（8）：40-42.

（責任編輯" " 黃春香）