編題變式，發展思維

【摘要】在探討一元一次不等式組的參數界定范疇時，初中學生常面臨挑戰.學習過程中，學生受到未知變量界限、參數范圍以及分類討論復雜性的多重影響，導致在判斷參數是否取特定值時感到尤為困惑.針對此難題，本文歸納以下策略，旨在使解決參數取值問題變得更加巧妙、高效且精確，從而提升學生的數學思維.

【關鍵詞】初中數學；一元一次不等式組；參數取值

1" 利用數形結合方法解題

在解決一元一次不等式組中的參數取值問題時，數形結合較為直觀，通過將不等式組的解集在數軸上表示出來，結合參數的變動，觀察解集的變化情況，從而確定參數的取值范圍.

例1" 不等式組x+4＞0x－a＜0有解，則a的取值范圍為" .

解析" 根據題意，解不等式組x+4＞0①x－a＜0②，由①可得x＞－4，由②可得x＜a.

利用數形結合方法，將a看作為動點，畫出對應的數軸，比較a與-4的位置，從而解得a的取值范圍.

圖3

（1）如圖1所示，此時a＜－4，不等式②的解集x≤a完全位于不等式①的解集xa＞－4的左側.這意味著兩個解集沒有交集，因此不等式組無解；

（2）如圖2所示，當a=－4時，不等式②的解集仍然位于不等式①的解集的左側.并且不等式①的解集x＞－4，因此不等式組仍然無解；

（3）如圖3所示，當a＞－4時，不等式①的解集和不等式②的解集有了明顯的重疊區域，為－4＜x＜a，此時不等式組有解.因此，綜合三種情況，當且僅當a＞－4時，不等式組有解.

2" 利用不等式組的解集解題

在解決一元一次不等式組中涉及參數取值范圍的問題時，直接利用不等式組的解集性質來求解，不僅是一種高效且系統的方法，還深刻體現出數學中參數與函數關系的精妙之處.

例2" 已知－1＜x＜2為不等式組x+2＞m+nx－1＜m－1的解集，則mn的值為""" .

解析" 先求出兩個不等式的解集，再根據不等式組的解集列出關于m，n的方程，然后求出m，n，最后代入代數式進行計算即可得解.

解方程組x+2＞m+n①x－1＜m－1②，由①可得x＞m+n－2，由②可得x＜m.

因為－1＜x＜2，

所以建立方程組m+n－2=－1m=2，

計算得n=－1m=2，

所以mn=2－1=12.

3" 利用整數解解題

面對一元一次不等式組問題，若題目設定解集需包含特定整數解，或解集本質為整數序列，則可以巧妙運用整數解的獨特性質作為解題突破口.通過細致分析整數解在不等式組解空間中的分布規律，可以逆向推導出參數應滿足的條件，進而精確求解不等式組中的參數值.該過程不僅考驗學生對不等式解集特性的理解深度，也要求學生掌握靈活應用數學邏輯與代數技巧的能力.

例3" 不等式組x－m＞02x－3≥3（x－2）有且只有四個整數解，則m的取值范圍為（" ）

（A）－1＜m≤0." （B） －1≤m＜0.

（C） m＜0." （D） m≥－1.

解析" 可先用m表示出不等式組的解集，再根據恰有四個整數解可得到關于m的不等式，進而求得m的取值范圍.

解方程組x－m＞0①2x－3≥3（x－2）②，由①可得x＞m，由②可得x≤3，根據題意可知，該不等式組有且只有四個整數解，則該不等式組的解集為m＜x≤3.

因為x≤3，并且解為整數，則一元一次不等式方程組x－m＞02x－3≥3（x－2）的解為0，1，2，3.

所以－1≤m＜0，故答案選（B）.

4" 結合整式方程與不等式方程組解題

在實際問題中，經常會遇到需要同時解決等式（方程組）和不等式（不等式組）的混合問題.此類問題要求學生不僅要掌握方程組的解法，還要能靈活運用不等式組的性質來確定參數的取值范圍.

例4" x－16+2＞2xa－x≤0為關于x的不等式組，該不等式組有解，并且關于x的方程4（3－x）+a=2x的解為正整數，則此時，滿足上述條件的整數a的個數為（" ）

（A）4個." （B）3個." （C）2個. ""（D）1個.

解析" 首先，需要解給定的不等式組，以此確定參數a的取值范圍.隨后，利用方程4（3－x）+a=2x的解為正整數的條件，進一步限定a的值.通過上述步驟，能夠求得問題的最終答案.

解不等式x－16+2＞2x①a－x≤0②，由①得x＜1，由②得x≥a，

因為關于x的不等式組x－16+2＞2xa－x≤0有解，

所以可以確定不等式組的解集為a≤x＜1，

所以有a＜1，解方程4（3－x）+a=2x，

得x=2+a6，

因為關于x的方程4（3－x）+a=2x的解為正整數，并且a＜1，

所以x=2+a6為正整數，

所以當a=0時，x=2+a6=2，符合要求；

當a=－6時，x=2+a6=1，符合要求；

當a=－12時，x=2+a6=0，不符合要求；

當a＜－12時，x=2+a6＜0，不符合要求.

所以滿足條件的所有整數a的個數為2個，故答案選（C）.

5" 結語

在探討一元一次不等式組參數取值時，通過數形結合、解集性質、整數解特性和結合方程組等方法，為學生提供了高效的解題策略.上述方法不僅能夠促進學生解題能力的提高，更推動其數學思維的發展，幫助學生更加靈活地面對復雜問題.希望學生能夠熟練運用上述方法，持續挑戰，提升數學綜合素養.