模型方法構建，解題應用探究

【摘要】一次函數背景下的搭橋模型教學探究，建議設置專題分兩個階段來構建：第一階段，方法點撥，策略構建；第二階段，應用解題，總結反思.本文圍繞模型開展教學探究，與讀者交流學習.

【關鍵詞】一次函數；搭橋模型；初中數學

一次函數背景下的搭橋模型較為特殊，融合了一次函數、動點、最值等知識內容.模型解析需要借助“對稱平移+共線分析”的方式求解，其中對稱轉化的技巧是解題的關鍵，需要教師重點講解，下面具體探究.

1" 方法點撥，分步構建

一次函數背景下的搭橋模型，其顯著特征為設定直線上以及外側的多個動點，構建求解線段和的最值，問題解析需要針對點與直線的位置關系，進而確定對稱轉化的方式.教學中可結合具體實例進行講解方法.

1.1" 方法點撥

問題" "已知點A和點B為兩個定點，點P和點Q是直線m上的兩個動點，點P在點Q的左側，且PQ之間的長度為定值.探究：在直線m上要求P，Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小.

情形1" 點A和點B在直線m的異側（如圖1）.

圖2

作法" 如圖2所示.

①過點A作AC∥m，且使得AC=PQ；

②連接BC，與直線m的交點即為點Q；

③點Q向左平移PQ長，即為點P，此時可得出點P和點Q的位置，求線段長即可完成求解.

情形2" 點A，B在直線m同側（如圖3）.

圖4

作法" 如圖4所示.

①過點A作AE∥m，且使得AE=PQ；

②作點B關于直線m的對稱點B′，連接B′E，與直線m的交點即為點Q；

③點Q向左平移PQ長，即為點P，此時可得出點P和點Q的位置，求線段長即可完成求解.

1.2" 分步構建

對于一次函數背景下的搭橋模型問題，需要把握一次函數的位置特性再逐步分析，教學中建議梳理分步構建策略，引導學生按照該步驟來解析.

第一步，解讀題干條件，明晰直線與點的位置關系，確定類型；

第二步，根據上述總結的模型作圖策略進行對稱轉化，確定動點的位置；

第三步，結合兩點之間距離最短，確定最值情形，推導點坐標，計算求最值.

2" 應用解題，總結反思

上述總結了一次函數背景下搭橋模型的兩種情形的對稱轉化方法，教學第二階段需注意精選問題，引導學生實戰應用，掌握應用思路.

2.1" 異側構建，最值反推

例1" 如圖5所示，在平面直角坐標系中，已知直線y=43x+8與x軸和y軸分別交于點A和點B，點C為OB的中點，點D位于第二象限，四邊形AOCD為矩形.動點P在CD上，PH⊥OA，垂足為點H，點Q為點B關于點A的對稱點.求：當BP+PH+HQ的值最小時，點P的坐標.

圖5

過程構建" 由題設可知，OB＝8，OA＝6，OC＝4，連接PB，CH，HQ，如圖5的虛線所示，則四邊形PHCB是平行四邊形，則有BP+PH+HQ＝CH+HQ+4.

分析可知，只需確保CH+HQ最小即可滿足條件，當點C，H，Q在同一直線上時，CH+HQ的值最小，過點Q作QM⊥y軸，垂足為M，可推知OA是△BQM的中位線，則QM＝2OA＝12，OM＝OB＝8.

利用待定系數法可求出直線CQ的解析式為y＝x+4，進而可求得點H（-4，0），結合平行特性可得點P（-4，4）.

解后反思" 上述問題是關于動點異側的一次函數搭橋模型問題，解析時可結合總結的策略進行對稱轉化，再利用“共線分析”來確定最值情形求解.整個過程需要注意利用坐標系的特點，推導點坐標和直線方程，精準定位.

2.2" 同側構建，周長最值

例2" 如圖6所示，在平面直角坐標系中，點A（0，4），C（8，0），E（8，2），點P和點Q是OC邊上的兩個動點，且PQ=2.探究：是否存在點P使得四邊形APQE的周長最小，若存在求出點P坐標，若不存在，請說明理由.

圖6

過程構建" 將點E（8，2）向左平移2個單位長度，可得點F（6，2），則EF＝2＝PQ，EF∥PQ，由題設可知FP=QE.作點F關于x軸的對稱點F′，連接PF′，則F′（6，-2）.

分析可知，當點A，P，F′在同一直線上時，AP+PF′最小，即AP+EQ最小，此時對應的四邊形APQE的周長最小，可求得直線AF′的解析式為y＝-x+4，則點P（4，0）.

綜上可知，存在點P使得四邊形APQE的周長最小，點P坐標為（4，0）.

解后反思" 上述問題為關于同側的一次函數搭橋模型探究，問題隱蔽性較強，以探究四邊形周長最值形式來呈現，引導學生探索時，注意條件挖掘與轉化，把握模型特征，準確定位類型.

3" 結語

總之，對于一次函數背景下的搭橋模型問題，教學中可參考上述探究方案，引導學生梳理解題模型轉化技巧，構建分步策略，再結合實例強化運用.該類問題對幾何變換思維要求較高，教師要注意解題思維的指導.