幾何構造法在初中數學解題過程中的妙用

【摘要】本文探討構造法在初中數學解題中的運用，通過利用勾股定理構建直角三角形、利用三角形中的恒等式逆命題構建一般三角形、利用圓的定義構建輔助圓等思路，為廣大學生提供參考和幫助.

【關鍵詞】幾何構造法；初中數學；解題思路

幾何構造法是初中數學解題思維中的重要組成部分.通過幾何構造法解題，可將抽象、復雜的題目變得直觀、簡單，有助于提高學生的解題效率.

1" 利用勾股定理，構建直角三角形

勾股定理在初中數學平面幾何中占據著重要地位，利用幾何構造法解決數學問題，可有效提高學生的解題效率.

例1" 已知a，b，c，d均為正數，三角形的三邊分別等于b2+c2，a2+c2+d2+2cd，a2+b2+d2+2ab，請計算三角形的面積.

分析" 題設三角形勢必會導致計算過程極為復雜，且需要利用海倫公式計算三角形的面積，整體計算過程相對繁瑣.如將已知代數式變形為c2+b2（①式）、a2+c+d2（②式）、d2+a+b2（③式），將三條線段進行轉化后，可簡化計算流程.具體解題思路如下：

圖1

如圖1，BC=AD=c+d，DC=AB=b+a，根據勾股定理可得出CF=d2+a+b2，FE=c2+b2，EC=a2+c+d2，△CFE即為所求三角形.根據S△CFE=S矩形ABCD－S△CDF－S△FAE－S△EBC，最終得出△CFE的面積為12（ac+bc+bd）.

2" 利用三角形中的恒等式逆命題，構建一般三角形

從三角形中的恒等式逆命題出發構建三角形解題，可有效提高解題效率，目前常見的三角恒等式如下：

tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC，

cotA·cotB+cotB·cotC+cotC·cotA=1，

cos2A+cos2B+cos2C+2cosA·cosB·cosC=1，

cosA+cosB+cosC=1+4sinA2·sinB2·sinC2，

tanA2·tanB2+tanB2·tanC2+tanC2·tanA2=1，

sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC.

例2" 已知正實數p，q，r，滿足關系式p+q+r+2pqr=1，

求證y－qr+z-qvz－m+y－m－1－y2－p有唯一解.

分析" 三角形恒等式cos2A+cos2B+cos2C+2cosA·cosB·cosC=1在結構上類似已知等式，可根據0lt;p，rlt;1構建如圖2.

根據圖2可以看出，銳角△ABC內接于半徑長為12的圓中，其中H為垂心，p=cos2A，q=cos2B，r= cos2C，0lt;cosAlt;1，0lt;cosBlt;1，0lt;cosClt;1，

圖1

易證AH=cosA=p，BH=cosB=q，CH=cosC=r，進而利用面積關系即可求證（p，q，r）的唯一解.

3" 利用圓的定義，構建輔助圓

例3" 如圖3，AB=BC=CA=AD，AH⊥CD于點H，CP⊥BC交AH于點P，求證S△ABC=34AP·BD.

分析" 該題是證明△ABC的面積等于34AP·BD，而AP·BD并非三角形的邊，并且在正△ABC中，S△ABC=12·AC·BC·sin60°=34AC·BC，由此可以看出，問題等價于證明34AC·BC=34AP·BD，即AC·BC=AP·BD，改寫成比例的形式為ACBD=APBC，即證明△APC∽△BCD.根據題目條件可以得出∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∠BCP=∠AHC=∠AHD=90°，∠ACP=30°.從本質上看，有關度數推導相等角的過程相對復雜，對此可利用AB=CA=AD即三條線段共端點A為基礎，構建以A為圓心，AB為半徑的圓.

圖3

進而根據上述圖形，利用圓弧所對應的圓周角、圓心角等相關知識，可以得出∠BDC=12∠BAC=30°，最終得出∠BDC=∠ACP，∠APC=∠PCH+90°=∠BCD，所以△APC∽△BCD，問題得以求證.

4" 結語

綜上所述，本文對幾何構造法在初中數學解題過程中的應用進行討論與分析，以了解幾何構造法在初中數學解題中的應用價值，旨在為廣大學者提供參考及幫助.

參考文獻：

［1］李琴霞.幾何構造法在初中數學解題過程中的妙用［J］.中學數學，2023（20）：67-68.

［2］趙妍珊.構造法在初中數學解題中的應用［J］.理科考試研究，2015，22（22）：4.

［3］季紅梅.借圖發揮精巧構思——構造法在初中數學解題中的應用［J］.新課程（中），2014（11）：22-23.