齊次式在三角函數題中的應用

【摘要】本文探討齊次式在三角函數題中的應用.對于分子、分母的次數相同的式子或無分母的相關式子，通過將分母“1”作特殊處理，分子分母同時除以特定項，轉化為僅含某一變量的式子，簡化運算過程，降低計算難度，使答題者能夠更加清晰、準確地進行計算和推理，從而有效地提高解題的效率和準確性.

【關鍵詞】齊次式；三角函數；解題方法

1" 方法解讀

齊次式的概念：每個單項式的次數都相等的式子.

當題目中出現“分子、分母由正弦或余弦組成的次數相同的分式”，即sinx 、cosx的一次齊次分式、二次齊次分式，均可以化為tan x的表達式.比如：sinx+2cosx2sinx+cosx為一次弦分式，sin2x+2cos2x2sin2x+cos2x為二次弦分式，然而在解題過程中并不會直觀出現分式的sinx、cosx齊次分式，此時可以結合三角形的同角公式對式子進行簡化，得到式子的值.下面以已知tan x的值來求sinx、cosx、sin2x、cos2x的值為例進行闡述.

2" 例題展示

例1" 已知tan x=2，求sinx+cosxsinx－cosx的值.

分析" 若分子、分母均為sinx、cosx的一次齊次式，則分子、分母同時除以cosx，分子、分母可化為含tanx的式子.

sinx+cosxsinx－cosx

=sinx+cosxcosx÷sinx-cosxcosx

=sinxcosx+cosxcosx÷sinxcosx－cosxcosx

=tanx+1÷tanx－1

=2+12－1

=3.

評析" 觀察題目，如果僅代入三角函數的關系去解答，運算難度較大，因此可以考慮利用齊次式轉化公式去處理.因為題目中算式的分子和分母的次數是相同的，條件中又給出了tan x=2，因此可以讓算式的分子和分母同時除以cos x，再利用三角函數關系將分式簡化，最后代入tan x的值進行運算即可得到分式的數值.

例2" 已知tan x=2，求sinxcosx的值.

分析" 若無分母，且式子是關于sinxcosx的齊次式，則將分母“1”作“sin2x+cos2x”處理，分子、分母同時除以cos2x，化為含tan x的式子.

sinxcosx=sinxcosx1=sinxcosxsin2x+ cos2x=sinxcosx cos2x÷sin2x+ cos2xcos2x=tanx÷tan2x+1=2÷22+1=25.

評析" 在式子sinxcosx中沒有分母，計算時可以結合三角函數的同角三角函數關系，和分數的基本性質創造一個分式，再運用齊次式讓分子和分母同時除以cos2x，得到只含tanx的式子，再對算式進行運算求值.

例3" 已知tan x=2，求sin2x-sinx cosx-cos2x的值.

分析" 若無分母，且式子是關于sinxcos x的二次齊次式，則將分母“1”作“sin2x+cos2x”處理，分子、分母同時除以cos2x，化為含tan x的式子.

sin2x-sinxcosx-cos2x=sin2x-sinx cosx-cos2xsin2x+cos2x=sin2x-sinx cosx-cos2xcos2x÷sin2x+cos2xcos2x=sin2xcos2x－sinx cosxcos2x－cos2xcos2x÷sin2xcos2x+cos2xcos2x=tan2x－tanx-1÷tan2x+1=22－2－1÷22+1=1÷5=15.

評析" 含有sin2x、cos2x、sinxcosx的式子可以結合三角函數和分數的基本性質轉化為分式之后，再運用齊次式讓分子和分母同時除以cos2x，巧妙去除式子中相同的未知數，得到只含有tanx的式子.

例4" 已知tan x=2，求sin3x+sinxcos3x+sinxcos2x的值.

分析" 當式子的分子和分母的冪次數不相同時，可以結合同角公式將式子中冪的次數調整為相同，再利用齊次式簡化算式.

sin3x+sinxcos3x+sinxcos2x=sin3x+sinx×1cos3x+sinxcos2x=sin3x+sinxsin2x+cos2xcos3x+sinxcos2x=2sin3x+sinxcos2xcos3x+sinxcos2x=2sin3x+sinxcos2xcos3x÷cos3x+sinxcos2xcos3x

=2tan3x+tanx÷1+tanx=2×23+21+2=6.

評析" 當式子中分子與分母的冪次數不相同時，可以先判斷正弦或余弦的冪可以增加為n次相同的冪次數，再利用同角公式進行轉化，將轉化后的式子除以cosnx，得到只含有tanx的式子，從而得解.

3" 結語

通過對齊次式在三角函數題中應用的深入探討，清晰地看到了它在簡化運算、優化解題思路方面的顯著作用.齊次式的解題思維為我們解決三角函數問題開辟了新的途徑，提高了解題的效率和準確性.