初中函數新定義問題的解決策略

【摘要】本文探討初中函數新定義問題的解決策略，首先應仔細研讀題目中的新定義，抓住關鍵信息.接著聯系已學知識，將陌生問題轉化為已知問題，通過若干典型例題闡述這一策略在解決新定義問題中的應用.

【關鍵詞】初中數學；函數；解題策略

1" 引言

在初中數學教學中，函數是一個重要的內容板塊.近年來，函數與新定義相結合的問題屢次出現在各地中考試題中.這些新定義問題不僅考查了學生對函數基礎知識的掌握程度，也有效考查了學生的思維能力、創新能力和問題解決能力.因此，分析并總結函數中的新定義問題的解決策略具有重要的教學意義.

2" 函數中新定義問題的解決策略

2.1" 仔細研讀新定義，抓住關鍵信息

面對新定義問題，首先要認真閱讀題目，對新定義進行逐字逐句的分析，理解新定義中的每一個條件的含義和作用.對于復雜的新定義問題，可以通過舉具體的例子來幫助理解.選取一些簡單的例子代入新定義中，觀察結果是否符合新定義的要求，從而加深對新定義的理解.

2.2" 聯系已學知識，化陌生為熟悉

當遇到新定義問題時，可以嘗試將新定義與已學過的知識聯系起來.尋找新定義與已有知識的相似之處，借鑒已學知識的解題方法和思路來解決新問題，將新定義問題轉化為熟悉的形式，降低問題的難度.

例 定義：若拋物線y=ax2+bx+c與x軸兩交點間的距離為4，稱此拋物線為定弦拋物線.

（1）判斷拋物線y=x2+2x－3是否是定弦拋物線，請說明理由；

（2）當一定弦拋物線的對稱軸為直線x=1，且它的圖象與坐標軸的交點間的連線所圍成的圖形是直角三角形，求該拋物線的表達式；

（3）若定弦拋物線y=x2+bx+c（blt;0）與x軸交于A，B兩點（A在B左邊），當2≤x≤4時，該拋物線的最大值與最小值之差等于O，B之間的距離，求b的值.

解析" 仔細研讀新定義，明確定弦拋物線是指與x軸的兩個交點的橫坐標的差為4的拋物線.也就是說，若y=ax2+bx+c為定弦拋物線，則方程ax2+bx+c=0的兩個根x1，x2x1lt;x2滿足x2－x1=4.于是，將定弦拋物線轉化為一元二次方程的根的問題.

（1）當y=0時，x2+2x－3=0，

解得x1=1，x2=－3，

則x1－x2=4，即該拋物線是定弦拋物線.

（2）當該拋物線開口向下時，如圖1所示，設拋物線與x軸交于C，D兩點，與y軸交于點E，O為坐標原點.

圖1

因為該定弦拋物線的對稱軸為直線x=1，

所以C（－1，0），D（3，0）.

因為△CED為直角三角形，

所以∠CED=90°.

因為EO⊥CD，

所以△CEO∽△EDO，

所以COOE=OEOD，

所以OE2=OC×OD=3，

所以E（3，0）.

設該定弦拋物線的表達式為y=a（x+1）（x－3），

令x=0，得3=－3a，

所以a=－33，

所以該拋物線的表達式為y=－33（x+1）（x－3）.

當該拋物線開口向上時，同理可得該定弦拋物線的表達式為y=33（x+1）（x－3）.

綜上所述，該定弦拋物線的表達式為y=－33（x+1）（x－3），或y=33（x+1）（x－3）.

（3）拋物線y=x2+bx+c（blt;0）的對稱軸為x=－b2.

①若－b2≤2，則當2≤x≤4時，y隨x的增大而增大.

所以當x=4時該定弦拋物線取最大值，當x=2時該定弦拋物線取最小值.

將x=4代入拋物線的表達式可得最大值為16+4b+c，將x=2代入拋物線的表達式可得最小值為4+2b+c.

易知O，B之間的距離為－b2+2，

所以，根據題意得16+4b+c－（4+2b+c）=－b2+2，

解得b=－4.

又因為－b2≤2，

所以b≥－4，

所以b=－4符合要求.

②若2lt;－b2≤3，則當2≤x≤4時，該定弦拋物線取最大值時x=4，該定弦拋物線取最小值時x=－b2.

類似①可知16+4b+c－4c－b24=－b2+2，

解得b1=－4，b2=－14.

因為2lt;－b2≤3，

所以－6≤blt;－4，

所以b1=－4和b2=－14都不符合要求，舍去.

③若3lt;－b2≤4，則當2≤x≤4時，該定弦拋物線取最大值時x=2，該定弦拋物線取最小值時x=－b2.

類似①可知4+2b+c－4c－b24=－b2+2，

解得b=－5±17.

因為3lt;－b2≤4，

所以－8≤blt;－6，

所以b=－5±17不合題意，舍去.

④若－b2gt;4，則當2≤x≤4時，y隨x的增大而減小.

所以當x=2時該定弦拋物線取最大值，當x=4時該定弦拋物線取最小值.

所以4+2b+c－（16+4b+c）=－b2+2，

解得b=－283.

因為－b2gt;4，

所以blt;－8，

所以b=－283符合要求.

綜上所述，b=－4或－283.

3" 結語

對于初中函數中的新定義問題，通過仔細研讀題目所給定義、抓住關鍵信息以及聯系已學知識，將陌生問題轉化為熟悉的問題，就能夠有效地解決這些問題.在教學過程中，教師應引導學生掌握解決新定義問題策略，培養學生的數學思維能力和問題解決能力.同時，要引導學生在日常學習中不斷積累經驗，加強對函數知識的理解和掌握，提升自己的思維水平和綜合能力，以更好地應對初中函數新定義問題.

參考文獻：

［1］顧曉峰.例談新定義問題的特點與解題路徑［J］.數學教學通訊，2022（06）：58-60.

［2］秦國珍.命制“新定義”類試題，促進初中學生數學核心素養提升［J］.數理天地（初中版），2024（17）：18-19.

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