多方法破解三角形背景下的最值問題

【摘要】在平面幾何問題中，三角形是一個重要的基礎圖形，許多問題都以三角形為背景進行設問.其中最值問題是一類典型的問題，綜合性強，對學生邏輯思維能力和幾何想象能力要求高.部分學生對此類問題難以下手，無法打開解題思路.本文符探究一道典型例題的多種解法，總結解題技巧.

【關鍵詞】初中數學；三角形；最值問題

1" 引言

在初中數學平面幾何的學習過程中，往往用多種方法求解一道問題，這對于把握題目本質，理清解題方向極其重要.尤其是對于某一類題型，嘗試從多個角度，利用不同知識解決問題，有助于對其他知識的理解.

圖1

2" 例題呈現

如圖1所示，設銳角三角形ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中agt;bgt;c，設長為a，b，c的三邊上的高分別為ha，hb，hc，且b+hblt;a+ha.求證：四個頂點均在△ABC三邊上的正方形的邊長的最大值是casinBc+asinB.

3" 解法展示

解法1" 運用相似關系解決問題

相似三角形是與三角形有關的一個重要知識點，運用三角形相似能夠得到角相等的條件和邊長的比例關系.合理利用相似三角形可以實現幾何條件的位置轉化，將最值問題轉化為更加具體、簡單的問題.

證明" 如圖2、圖3、圖4所示，四個頂點均在△ABC三邊上的正方形有三種情況.

圖2

設正方形MNOP的邊長為x.

在圖2中因為四邊形MNOP是正方形，

所以MN∥BC，△AMN∽△ABC.

所以AGAD=MNBC，ha－xha=xa，

故x=ahaa+ha.

同理在圖3和圖4中分別可得x=bhbb+hb，x=chcc+hc.

圖3

由S△ABC=12aha=12bhb=12chc，

可得aha=bhb=chc.

因為b+hblt;a+ha且agt;bgt;c，

所以c+hclt;b+hblt;a+ha.

所以chcc+hcgt;bhbb+hbgt;ahaa+ha，

故邊長的最大值是chcc+hc=casinBc+asinB.

圖4

評析" 依據題目中涉及的高線以及內接正方形，可以構造出相似的直角三角形.內接正方形的邊所在的位置需要討論，然后利用相似比例關系、幾何不等式的性質即可證明.

解法2" 運用銳角三角函數解決問題

銳角三角函數是解答三角形中有關角的問題的重要工具，利用三角函數的定義可以得到不同邊長之間的比例關系.

證明" 如圖5所示，四邊形E′F′OP為正方形，設E′F′=x，

則BP+PO+OC=a，BP=xtanB，OC=xtanC.

圖5

所以xtanB+x+xtanC=a，x（1tanB+1+1tanC）=a①.

因為tanB=haBM，tanC=haMC，

且BM+MC=a，

所以1tanB+1tanC=BM+MCha=aha.

由①式可得x（aha+1）=a，

所以x=aa+haha=ahaa+ha.

同理可得x′=bhbb+hb，x″=chcc+hc，后續處理方法與上述一致.

評析" 通過對圖形的觀察可以發現，利用分線段和的常用結論，建立恒等關系，再結合銳角三角函數的性質，即可證明.

4" 結語

通過對本題的解答，可以發現涉及三角形邊和高之間的不等關系，需要從邊與高的相關要素上進行聯想，三角形的面積計算或是銳角三角形中相關問題均涉及邊與高的問題，都要從這兩個方面尋找突破口.對于最值問題，則是要發現圖形中的不等關系，利用不等式的性質和一些幾何定理如兩點之間線段最短等從而順利解決.

參考文獻：

［1］衡忠強.初中數學解題中數形結合思維的妙用——以函數的最值問題為例［J］.數理天地（初中版），2024（18）：20-21.

［2］過鋒.初中數學最值問題的解法［J］.中學數學，2024（16）：99-100.

［3］吳杰.探究構造相似三角形求線段和的最值［J］.中學數學，2024（10）：99-101.