立足幾何模型，培育創新思維

【摘要】在解答初中幾何證明題時，學生往往很難發現題目背后隱含的基本模型，導致不能順利完成解題．本文以2023年南京中考數學第27題為例，注重一題多解，探尋解決問題的不同思路，以提高學生的解題能力.

【關鍵詞】尺規作圖；手拉手模型;初中數學

1" 原題呈現

（南京中考第27題）在平面內，將一個多邊形先繞自身的頂點A旋轉一個角度θ（0lt;θlt;180°），再將旋轉后的多邊形以點A為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應線段的比為k，稱這種變換為自旋轉位似變換.若順時針旋轉，記作T（A，順θ，k），若逆時針旋轉，記作T（A，逆θ，k）.

（1）如圖①，△ABC經過T（B，逆α，k1）得到△EBD，△ABC經過T（C，順β，k2）得到△FDC，連接AE，AF，求證：四邊形AFDE為平行四邊形.

（2）如圖②，在△ABC中，∠A=150°，AB=2，AC=1，若△ABC經過（1）中的變換得到的四邊形AFDE是正方形.

Ⅰ.用尺規作出點D；

Ⅱ.直接寫出AE的長.

圖1

2" 多樣解法

2.1" 尋共性，重思維——第（1）題解析

因為△ABC經過T（B，逆α，k1）得到△EBD，△ABC經過T（C，順β，k2）得到△FDC.

所以 △ABC∽△EBD，

所以ABEB=BCDB，∠EBD=∠ABC，∠BAC=∠BED，

所以∠EBA=∠DBC，

易證△EBA∽△DBC，

同理△DBC∽△FAC，

所以△EBA∽△DBC∽△FAC.

（1）利用“兩組對邊分別平行”

解法1" 如圖2因為△EBA∽△DBC∽△FAC，

所以∠1=∠2=∠5，∠3=∠4.

因為∠6=∠1+∠3，

又因為∠BDF=∠4+∠5，

所以∠6=∠BDF，

所以AE∥DF，同理ED∥AF，

所以四邊形AFDE為平行四邊形.

圖2

解法2" 如圖3，延長線段FA交線段DB于點G，

圖3

因為∠FAC+∠GAC=180°，

所以∠GBC+∠GAC=180°.

因為∠BGA+∠ACB+∠GBC+∠GAC=360°，

所以∠BGA+∠ACB=180°.

因為∠BGA+∠DGA=180°.

所以∠ACB=∠DGA.因為∠ACB=∠EDB，

所以∠DGA=∠EDB，

所以DE∥AF，同理AE∥DF，

所以四邊形AFDE為平行四邊形.

（2）利用“兩組對邊分別相等”

解法3" 設BC=a，AB=c，AC=b，

因為△ABC∽△FDC，

所以DC=k2a，DF=k2C，

CF=k2b，

因為△EBA∽△DBC，

所以EADC=BABC=ca，

所以EA=ca×k2a=k2c=DF，

同理AF=DE，

所以四邊形AFDE為平行四邊形.

2.2" 巧構造，擅模型——第（2）題解析

分析" 由正方形得DE=EA=AF=DF，∠EAF=90°，

由（2）得，∠EAB=∠DCB，

同理∠FAC=∠DBC，

所以∠DCB+∠DBC=∠EAB+∠CAF=120°，

所以∠BDC=60°，

相似比為k1，k2，AB=2，AC=1，

設BC=x，可得BD=k1x，

CD=k2x，ED=k1，DF=2k2，

所以k1=2k2，所以BDCD=2，

且∠BDC=60°.

（1）構造直角三角形

解法1" 因為BDCD=2，且∠BDC=60°，

所以△BDC為一個銳角是60°的直角三角形，如圖4，作等邊△BCM，再作它的外接圓，過點C作CD⊥BC交外接圓于點D，點D即為所求.

解法2" 如圖4，延長線段BA，過點C作CF⊥AC，交線段BA的延長線于點F，作正方形AFDE，點D即為所求.

圖4

因為△DEB∽△CFD，

所以DECF=EBFD=DBCD=2，

所以AFCF=2，且∠AFC=60°，

所以△AFC為一個銳角是60°的直角三角形.

（2）角平分第二定理

分析" 想得到BDCD=2，聯想到角平分線第二定理，作出BGGC=2，利用垂徑定理確保線段DQ為∠BDC的角平分線，則BDCD=2.

解法3" 如圖6，利用相似作線段BC的三等分點G，作等邊△BCM，再作它的外接圓，過點M作MQ⊥BC，交外接圓于點Q，連接線段QG并延長，交外接圓于點D.

圖5

圖6

（3）阿氏圓

分析" 由BDCD=2，聯想到阿氏圓.已知平面上兩定點A，B，則所有滿足PAPB=k（kgt;0且k≠1）的點P的軌跡是一個圓.

解法4" 如圖6，作等邊△BCM，再作它的外接圓，作出滿足BDCD=2的點D的軌跡，兩圓的交點即為點D.

3" 結語

在新課程改革背景下，中考閱讀理解題比重增加，要求學生具備整合信息和運用知識的能力.教學中，教師應引導學生深入理解概念，聯系新舊知識，促進知識轉化.同時，強調模型思想，通過具體問題提煉常規模型，系統化數學知識，提升學生分析、歸納、提煉和解決問題的能力.