一次函數中的面積問題

【摘要】一次函數是初中數學的重要內容之一，其中與面積相關的問題常常出現在中考試題中.本文以一道中考題為例，深入分析一次函數中的面積問題，探討解題方法和思路，旨在幫助學生更好地解決這一類型的問題，提高解題能力.

【關鍵詞】一次函數；面積問題；初中數學

1" 引言

一次函數的圖象是一條直線，可與兩條坐標軸圍成三角形.直線與坐標軸所圍成的圖形的面積問題，既涉及代數運算，又涉及對幾何圖形性質的分析，具有較強的綜合性.在歷年中考中，此類問題常常作為考查學生綜合運用知識能力的重要題型出現.本文以一道中考真題為例，探討這類問題的解決途徑.

2" 試題呈現

（2024年江蘇省南通市中考數學第18題）平面直角坐標系xOy中，已知A（3，0），B（0，3）.直線y=kx+b（k，b為常數，且kgt;0）經過點C（1，0），并把△AOB分成兩部分，其中靠近原點部分的面積為154，則k的值為""" .

3" 解法分析

此題是一道涉及三角形面積的一次函數綜合題，主要考查一次函數的圖象與性質、一次函數圖象上點的坐標特征、一次函數解析式的求法、交點坐標的求法、三角形面積公式的知識，具有一定的區分度.

如圖1，設直線AB與直線y=kx+b的交點為點D.根據點A和點B的坐標容易求出△AOB的面積.由題目條件可知S四邊形OCDB=154，由此可求出△ACD的面積，再結合直線y=kx+b過點C（1，0），即可求出k的值.

解法1" 如圖2，過點D作x軸的垂線，垂足為點E.

圖2

因為A（3，0），B（0，3），C（1，0），

所以OB=3，OA=3，AC=2，S△OAB=12·OA·OB=92.

根據條件可知S四邊形OCDB=154，

所以S△ACD=S△ABO－S四邊形OCDB=92－154=34.

設直線AB的解析式為y=mx+n，

因為直線過點A（3，0），B（0，3），

所以3m+n=0n=3，

解得m=－1n=3，

故直線AB的解析式為y=－x+3.

因為直線y=kx+b經過點C（1，0），

所以k+b=0，故b=－k，

所以y=kx－k.

聯立方程y=kx－ky=－x+3，解得x=k+3k+1y=2kk+1，

所以點D的坐標為Dk+3k+1，2kk+1.

于是DE=2kk+1，

所以S△ACD=12AC·DE=12×2kk+1×2=34，

解得k=35.

解法2" 如圖2，過點D作x軸的垂線，垂足為點E.

由解法1可知S△ACD=34，

所以DE=2S△ACDAC=34.

故點D的縱坐標yD=34.

由解法1可知直線AB的解析式y=－x+3，

故點D的橫坐標為xD=3－yD=94，

所以點D的坐標為94，34.

將點C（1，0）和D94，34代入y=kx+b得k+b=094k+b=34，

解得k=35b=－35，即k=35.

4" 變式拓展

平面直角坐標系xOy中，已知A（3，0），B（0，3）.直線y=kx+b（k，b為常數，且kgt;0）經過點（1，0），且把△AOB分成面積1∶2的兩部分，若靠近原點的那部分的面積較大，則k的值為" .

圖3

解法1" 如圖3，設直線AB與直線y=kx+b交于點D.由原試題的解法可知S△ABO=92，直線AB的解析式為y=－x+3，直線CD的解析式為y=kx－k，yD=2kk+1.

根據條件可知S△ACD=13S△ABO=32，故12·yD·AC=32，即12×2kk+1×2=32，解得k=3.

解法2" 根據條件可知S△ACD=13S△ABO=32.

設點D的縱坐標為yD，則S△ACD=12·yD·AC=32，

又因為AC=2，所以yD=32.

由解法1可知直線AB的解析式y=－x+3，

故點D的橫坐標為xD=3－yD=32，

所以點D的坐標為32，32.

將點C（1，0）和點D32，32代入y=kx+b得k+b=032k+b=32，

解得k=3b=－3，即k=3.

5" 結語

解決一次函數中的面積問題，要注意以下幾點：（1）首先要準確畫出圖形，明確各個點的坐標和圖形的形狀；（2）充分利用已知條件，求出相關圖形的面積，建立方程或等式來求解未知量；（3）要熟練掌握一次函數的性質和三角形、四邊形等幾何圖形的面積公式，靈活運用代數和幾何的方法解決問題.總之，一次函數中的面積問題是中考數學中的重要題型之一，通過以上對中考真題的分析和探討，希望能幫助學生更好地掌握這一類型問題的解法，提高解題能力和數學素養.

參考文獻：

［1］曹艷.一次函數與三角形面積問題探析［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2024（04）：35-36.

［2］王芳.一次函數圖象與三角形的面積［J］.中學生數理化（八年級數學）（配合人教社教材），2022（05）：7-8.

［3］張如青.“一次函數圖象與三角形面積”的變式探究［J］.現代中學生（初中版），2022（06）：29-30.