三角形角平分線定理拓展及其應用

【摘要】在近年中高考試題中，對三角形角平分線定理相關知識的考查頻繁出現.它既可以作為單獨的題目加以考查，也可以結合其他的幾何知識進行命題.本文詳細介紹三角形內外角的角平分線定理及其逆定理，并對其進行拓展，最后介紹三角形角平分線定理在一些經典問題中的應用.

【關鍵詞】三角形；角平分線定理；解題方法

線段與角是構成幾何圖形的最基本的元素，線段的長度與角的大小是線段與角所具有的最基本的性質，也是歐式幾何中最基礎的研究對象.凡是在線段長度與角度之間建立的數學關系都有著特別的意義，例如勾股定理，而角平分線定理是另一個較為重要的能在線段長度與角的大小之間建立聯系的數學定理.三角形角平分線問題是初中數學教學中一個重要內容，初、高中考查角平分線知識及性質的命題有相當多是放在三角形中的，其中對三角形中角平分線性質的考查是重中之重.本文介紹三角形內外角的角平分線定理及其逆定理，并對其拓展到任意分角，最后介紹三角形角平分線定理在一些經典問題中的有趣應用，以幫助學生明晰思路，激發學習興趣，培養思維能力.

1" 三角形角平分線的一組性質

定理1（角平分線定理）" 在△ABC中，角平分線AD交對邊BC于點D，那ABAC=BDCD.

這個定理反映了三角形中角平分線所分線段之間的比例與另兩條邊長度之比之間的關系，這個定理證明方法很多，其中比較直觀的是利用角平分線所分的兩個三角形面積之比來進行證明.

圖1

圖2

證明" 如圖1所示，作△ABC的高AG，所以角平分線所分的兩個三角形△ABD與△ACD面積之比為：S△ABDS△ACD=12·BD·AG12·CD·AG=BDCD.

過點D作邊AB與AC的垂線，分別交AB與AC于點E、F，根據角平分線性質，DE=DF，故△ABD與△ACD面積之比又可以表示為：S△ABDS△ACD=12·AB·DE12·AC·DF=ABAC.

綜上，可知ABAC=BDCD.

反之，若已知對應線段長度之比相等，可以得到三角形的角平分線，同樣可以利用兩個三角形面積之比來證明.

定理1（角平分線定理逆定理）" 在△ABC中，線AD交對邊BC于點D，如果ABAC=BDCD，那么AD為∠A的角平分線.

三角形的外角平分線具有同樣的性質，并且其逆定理也成立.

定理2（外角平分線定理）" 在△ABC中，外角平分線AD交對邊BC的延長線于點D，那么ABAC=BDCD.

定理2（外角平分線定理逆定理）" 如圖2，在△ABC中，線AD交對邊BC的延長線于點D，如果ABAC=BDCD，那么AD為∠A外角的角平分線.

2" 應用舉例

綜上所述，三角形內外角平分線具有分對邊所得的兩條線段和另兩邊對應成比例的性質，反之，其逆定理可以作為通過線段比例關系來證明角相等的依據.所以，三角形內外角的角平分線定理在平面幾何中有著廣泛且重要的作用，它可以幫助我們解決很多有意思的問題，這里我們舉三個有代表性的例子.

例1" 證明：三角形三條角平分線共點.

證明" 如圖3所示，不妨設角平分線AD與BE交于點O，連接CO并延長，交AB邊與點F.

因為BE是△ABC的角平分線，所以由定理1可知ABAE=CBCE.

又因為AO是△ABE的角平分線，所以由定理1可知ABAE=BOEO.

綜上，可得CBCE=BOEO.

由定理1，可得CO為△CBE的角平分線，故結論成立.

圖3

例2" （角平分線長定理）在△ABC中，角平分線AD交對邊BC于點D，證明：AD2=AB·AC－BD·CD.

圖5

證明" 如圖4所示，不妨設∠ADB=θ，在△ABD中利用余弦定理，有AB2=AD2+BD2－2AD·BD·cosθ①.

在△ACD中利用余弦定理，并且∠ADC=180°－θ，

有AC2=AD2+CD2+2AD·CD·cosθ②.

①式兩邊乘CD再加上②式兩邊乘BD，

可得AB2·CD+AC2·BD=AD2·BD+AD2·CD+BD2·CD+CD2·BD③.

由定理1，可知AB·CD=AC·BD，

③式整理可得AB·AC·（BD+CD）=（AD2+BD·CD）·（BD+CD）.

兩邊同除以BD+CD，再整理，可得到結論：AD2=AB·AC－BD·CD.

例3" （阿波羅尼斯圓）設A，B是平面上兩個不同的點，點P到A，B兩點的距離之比為常數q，即PAPB=q，qgt;0，且q≠1，證明點P的軌跡為一個圓.

阿波羅尼斯（Apollonius，約公元前262—公元前190年）是古希臘偉大的數學家、天文學家，他與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷時期三大數學家.阿波羅尼斯圓是關于如何利用兩點構造曲線問題，這里的曲線是圓.在中學階段，學生還會學習利用兩點構造橢圓、雙曲線等曲線.與一般的構造圓的方法（到定點的距離等于定長）不同，阿波羅尼斯的方法是到兩點的距離之比等于定值.

下面嘗試找到這個圓，以及它的圓心和半徑，并證明它.

假設這個圓存在，先嘗試找到這個圓.首先可以判斷這個圖形是關于直線AB對稱的.其次，可以在線段AB上可以找到兩個點，一個在線段AB中，一個在線段AB延長線上，不妨設為C，D，這兩點到A、B的距離比值等于q，即CACB=q，DADB=q.以CD為直徑作圓O，因為這個曲線過C，D兩點，并且關于直線AB對稱，所以可以猜測圓O就是滿足條件的曲線.

證明" 如圖5所示，取直線AB上兩點C，D，點C在線段AB上，點D在線段AB延長線上，使得這兩點到A，B的距離比值等于q，qgt;0且q≠1，即CACB=DADB=q，假設P點是除C，D點外的，滿足條件的點，所以有PAPB=q=CACB=DADB.

由定理1′和定理2′，可得PC為△PAB的角平分線，PD為△PAB的外角平分線，所以∠CPD=90°.

所以對任意的滿足條件的點P，都有△PCD為直角三角形，所以點P的軌跡為一個圓，且圓心為CD的中點，半徑為12CD.

參考文獻：

［1］劉克忠.三角形內角平分線性質定理在解高考題中的應用［J］.數學學習及研究，2017（16）：130.

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