“動靜比翼，數形雙飛”

【摘要】二次函數是初中數學的重要組成部分.二次函數的最值問題，可以考查學生數學思維中的數形結合思想和分類討論思想——初中數學中應用較多的方法，也是課堂學習的重點.掌握二次函數最值的求解策略，能夠極大地提高數學解題能力，為步入高中學習更多的函數知識奠定堅實的基礎.

【關鍵詞】二次函數；初中數學；最值

1" 軸定區間定

軸定區間定，主要就是在題目給出或者可根據條件求出二次函數解析式的前提下，根據題目所給出的函數的具體定義域，結合二次函數的圖象和性質，求出這個二次函數在給定的定義域內的最值問題.

例1" 已知函數y=x2+bx+c（b，c為常數）的圖象經過點（0，3），（6，3）．

（1）求b，c的值；

（2）當0≤x≤4時，求y的最大值與最小值之差．

解析" （1）因為函數y=x2+bx+c（b，c為常數）的圖象經過點（0，3），（6，3），

所以c=3，

y=x2+bx+3，

將點（6，3）代入可得3=62+6b+3，

解得b=－6，

所以b=－6，c=3.

（2）y=x2－6x+3=（x－3）2－6，

當0≤x≤4時，

①僅當x=3時，y取得最小值，此時y=（3－3）2－6=－6；

②僅當x=0時，y取得最大值，此時y=（0－3）2－6=3；

3－（－6）=9，

所以當0≤x≤4時，y的最大值與最小值之差為9.

點評" 利用具體的二次函數解析式求解固定區間的最值問題，要搞清楚二次函數的開口方向、對稱軸，以及頂點坐標等，然后根據給出的定義域截取圖象，然后根據圖象獲取信息，找到最值即可.

2" 軸動區間定

軸動區間定是在根據已知條件求解二次函數具體的解析式后，依據題目所給出的帶有參變量的定義域求解函數最值問題，這種題目因為給出的定義域的不確定性，所以隨著參數取值的不同導致截取的對應的二次函數的圖象也發生變化.

例2" 求關于x的二次函數y=x2－2tx+1在－1≤x≤1上的最大值（t為常數）．

解析" 根據題意，因為二次函數的對稱軸為直線x=－－2t2×1=t，

由題意可得，拋物線開口向上，

①當tlt;－1，x=1時，y有最大值為－2t+2，

②當－1≤tlt;0，x=1時，y有最大值為－2t+2，

③當t=0，x=1或－1時，y有最大值為2，

④當0lt;t≤1，x=－1時，y有最大值為2t+2，

⑤當tgt;1，x=－1時，y有最大值為2t+2．

點評" 對于二次函數中的軸動區間定的問題，首先對函數方程式進行適當的信息提取，獲得基本信息后就可以畫出函數的基本圖象，特別注意開口方向和對稱軸，然后依據分類討論思想對于參數變化導致定義域的不同進行討論求解即可.

3" 軸定區間動

所謂軸定區間動，就是在根據已知確定二次函數解析式的前提下，根據題目給出的確定的定義域，求解函數的最值問題.注意此類問題的特點：題目給出的二次函數的定義域是固定不變的，但因為二次函數解析式中的參數不同，二次函數的開口方向和對稱軸的其中之一或者兩者都是隨著參數取值的不同而發生變化的.

例3" 已知二次函數y=x2+bx+c（b，c為常數）的圖象經過點（0，3），（6，3）．

（1）求b，c的值；

（2）當k－4≤x≤k時，若y的最大值與最小值之差為8，求k的值．

解析" （1）因為函數y=x2+bx+c（b，c為常數）的圖象經過點（0，3），（6，3），

所以c=3，y=x2+bx+3，

將題目中給出的已知點（6，3）代入可得：3=62+6b+3，解得：b=－6，

所以b=－6，c=3.

（2）當k－4≤x≤k時，y=x2－6x+3=（x－3）2－6，

①當k－4≤x≤k≤3時，即k≤3，

僅當x=k，y取得最小值，此時y=k2－6k+3；

僅當x=k－4，y取得最大值，此時y= （k－4）2－6（k－4）+3；

（k－4）2－6（k－4）+3－（k2－6k+3）=8，

解得：k=4，

因為k≤3，

所以k=4不符合題意.

②當k－4≤3且k≥3時，即3≤k≤7，此時最小值為y=－6，

當x=k－4時取得最大值，

即3－（k－4）≥k－3時，k≤5，

此時y= （k－4）2－6（k－4）+3，

（k－4）2－6（k－4）+3－（－6）=8，

解得：k=7±22，

因為3≤k≤5，7+22gt;7，

所以k=7+22不符合題意；

所以k=7－22；

當x=k取得最大值，

即3－（k－4）≤k－3時，k≥5，

此時y=k2－6k+3，

k2－6k+3－（－6）=8，

解得：k=3±22，

因為5≤k≤7，5lt;3+22lt;7，3－22lt;5，

所以k=3+22符合題意，k=3－22不符合題意，

所以k=3+22.

③當3≤k－4≤x≤k時，即k≥7，

僅當x=k－4，y取得最小值，此時y= （k－4）2－6（k－4）+3；

僅當x=k，y取得最大值，此時y=k2－6k+3；

k2－6k+3－［（k－4）2－6（k－4）+3］=8，

解得：k=6，

因為k≥7，

所以k=6不符合題意.

綜上所述，k的值為7－22或3+22．

點評" 基于軸定區間動求解二次函數最值問題時，要根據題目采用數形結合思想，畫出固定區間后，確定題目給出的二次函數信息，對該二次函數隨著參數的取值不同而進行適當的變化，從而確定在不同情況下對應的函數的不同的最值問題，通過分類討論解決即可.

4" 結語

對于二次函數在不同條件下的最值求解問題，我們要充分利用題目中的二次函數的開口方向、對稱軸，以及題目給出的定義域，采用數形結合思想把握在不同的條件下，參變量所帶來的圖象變化，進一步深化學生對分類討論思想的理解.由于此類題目具有一定的綜合性，所以在日常學習中務必對學生進行有針對性的強化訓練，且讓學生熟悉各類題型，以及各類問題的處理方法，學會自我總結歸納解法，鍛煉學生的數學思維和解題能力，為日后學習其他內容奠定基礎.

參考文獻：

［1］雷寶生.二次函數在求解最值問題中的應用［J］.初中數學教與學，2023（21）：29-31+34.

［2］劉盛.以二次函數最值談銜接教學案例［J］.文理導航（中旬），2024（02）：19-21.