解答平面幾何最值問題的三種模型的應用

【摘要】初中平面幾何問題中，最值問題令許多學生無從下手，它往往側重考查平面幾何三大變化的應用.常見的解答平面幾何最值問題的模型有三種：（1）瓜豆模型；（2）隱圓模型；（3）將軍飲馬模型.本文將結合三道例題，談一談解答平面幾何問題中三種模型的應用.

【關鍵詞】初中數學；平面幾何；解題模型

平面幾何最值問題，是中考數學試卷的高頻考點，其問題形式靈活多變，知識面廣，主要以培養學生的綜合能力為目標.在解答本類試題時，學生要善用解答模型，并聯系數學轉化思想進行解題.

1" 瓜豆模型

例1" 如圖1，在平面直角坐標系中，A點坐標為4，0，B為y軸正半軸上一動點，以AB為一邊向下作等邊△ABC，連接OC，則線段OC的最小值為""" .

圖1

思路分析" 解答本題時，可以先確定模型，再利用模型原理，確定動點運動軌跡，進而確定線段OC的最小值.根據題意可知，點B為主動點，點C為從動點，兩動點與定點A連線的夾角為60°，兩動點到定點A的距離之比為1：1，定角定比例，符合瓜豆模型.由此可知，從動點C的軌跡與主動點B的軌跡一樣，都為直線.接下來，需要確定從動點軌跡的位置，可以利用旋轉或特征點的方法確定其軌跡.確定后，依據“垂線段最短”的公理可得出線段OC的最小值.

解析" 如圖2，移動點B，當BC邊與y軸重合時，點C落點在y軸上.因為△ABC為等邊三角形，可得OC1=433，此時C1坐標為0，－433；當AB邊與x軸重合時，點C落點在第四象限，此時C2坐標為2，－23，連接C1C2，那么C1C2所在直線即為動點C的軌跡.又因為垂線段最短，所以當OC⊥C1C2時，取最小值.已知點C10，－433，C22，－23，可得直線C1C2的斜率為=－23+4332－0=－33，因為tan150°=－33，所以此時∠OC1C=60°，OC=32×OC1=32×433=2.綜上，線段OC的最小值為2.

圖2

2" 隱圓模型

例2" 如圖3，已知等邊△ABC的邊長為8，點P是AB邊上的一個動點（與點A，B不重合）.直線l是經過點P的一條直線，把△ABC沿直線l折疊，點B的對應點就是點B′.當PB=6時，在直線l變化過程中，求△ACB′面積的最大值.

圖3

思路分析" 理解題意可知，點P為定點，B′到點P的距離是固定的，為6.定點定長隱形圓.所以點B′軌跡是以點P為圓心，以PB=6為半徑的圓.要想使△ACB′面積最大，只需求出B′到AC的最大距離即可.

解析" 如圖4所示，過點P作PH⊥AC，垂足為H，延長HP，與圓的交點即為△ACB′積最大時的B′點.因為△ABC為等邊三角形，所以∠A=60°；又因為AB=8，PB=6，所以AP=2，HP=AP×32=2×32=3，求得HB′=6+3，已知AC=8，那么此時S△ACB′=12×8×6+3=24+43.綜上，△ACB′面積的最大值為24+43.

圖4

3" 將軍飲馬模型

例3" 如圖5，在△ABC中，AB=AC=5，D為BC的中點，AD=4，P為AD上任意一點，E為AC上任意一點，求PC+PE的最小值.

圖5

思路分析" 點C為定點，點P，E為動點，一定兩動，符合將軍飲馬模型.根據題意可知，AD垂直平分BC，連接PB，易得PC=PB，這時可將求PC+PE的最小值轉化為求PB+PE的最小值.不難發現，當點B，P，E三點共線時，PB+PE更短，但不是最短.依據公理“垂線段最短”，可知當BE⊥AC時，BE最短，PB+PE最短，也就是PC+PE最短.

解析" 如圖6，過點B作ΒE⊥AC，垂足為點E，交AD于點P，連接PC，此時PC+PE最小.因為△ABC為等腰三角形，且D為BC的中點，所以AD是線段BC的垂直平分線，所以AD⊥BC，BD=CD=3，又因為S△ABC=12×AD×BC=12×AC×BE，所以AD×BC=AC×BE，可得4×6=5×BE，BE=4.8.綜上，PC+PE的最小值為4.8.

圖6

4" 結語

總的來說，解答平面幾何最值問題時，可以運用常見的數學模型，加強模型的應用意識，切實提高解題速度和效率.