融入數學文化的高中數學教學設計

【摘要】函數是高中數學課程中重要的組成部分之一，知識點繁多且瑣碎，對學生的抽象思維能力的要求較高.在函數相關知識的教學過程中，融入數學文化有利于加深學生對函數知識的理解，促進學生思維拓展.本文以人教版高中數學教材中的“函數”章節為例，對高中函數相關知識內容進行整合梳理.在教學過程中，融入數學文化，并在初中函數知識學習的基礎上引出高中函數知識，對高中“函數”內容進行分步教學，旨在促進學生全面掌握高中函數知識，提高數學課程教學效率.

【關鍵詞】數學文化；高中數學；函數

數學文化融合了思想、精神和語言等多個方面的內容，伴隨著數學學科的發展而出現，在數學教育中具有不可忽視的價值.數學文化涉及人類活動和科學技術等領域，均對數學的發展產生了積極的影響.在高中數學教育中，數學文化起著重要的作用，有利于促進學生更好地領會數學知識的精髓，深化數學基礎知識的學習，增強數學綜合能力與數學素養.在一線教學實踐中，融合數學文化，有利于拓展數學課程知識，深化課程講解與教學，增強數學課程設計的總體效能，提高高中數學教學效率.本文以人教版高中數學“函數”為例進行教學設計，實現數學文化與數學實踐之間的有機統一.在教學過程中，帶領學生領會數學的精髓，培養學生的綜合能力［1］.

1" 人教版高中數學“函數”內容的教學目標

在人教版高中數學“函數”教學設計中，教師結合學生的認知基礎，對課程知識內容進行深入整合與設計.在初中階段，學生首次接觸到了函數，了解了函數的概念、表示方法，學習了函數的解析式、圖象等相關知識，開始探索一次函數和反比例函數等一些簡單的特殊函數.在這一階段，學生的理解往往停留在表面，主要是對函數形式和圖象的直觀感受.為了更好地促進學生對“函數”概念進行理解，教師可鼓勵學生思考溫度變化、距離與時間的關系等相關的函數案例，使得學生們逐漸意識到函數不僅僅是一個數學概念，而是現實生活中普遍存在的規律.

進入高中階段，學生開始系統地學習函數知識，對數學知識的理解逐漸從原有的直觀感受向更深入的數學化理解轉變.為此，教師借助系統的函數知識結構體系，引導學生從特殊到一般地認識函數，再從一般到特殊地應用函數.在教師的引導之下，學生深入學習了函數單調性、奇偶性、周期性等性質，開始理解函數與方程、不等式之間的密切聯系.通過大量的練習與實例分析，逐漸掌握了函數的數形同一性等性質，學會了運用函數知識解決各種數學問題.當對函數有了深入的數學化理解后，教師通過數學建模等表現性任務進行函數知識的拓展，結合數學文化，強化學生對函數的深入理解［2］.學生可以用函數描述化學反應的速率和平衡狀態，學會用數學的眼光看世界，用數學的思維思考生活，利用函數分析股票走勢、預測天氣變化等，將函數思維引入生活之中，實現與數學文化之間的緊密結合.

2" 人教版高中數學“函數”內容的教學過程

2.1" 課程導入

教師對函數相關知識進行整合，以導入課的方式促進學生思考，引入相關的問題情境，結合頭腦風暴法促進學生對知識的理解.在教師的引導之下，學生繪制函數知識結構圖，對函數的常見相關要素進行整合，并寫下自己在學習函數過程中的問題與疑惑，便于教師在課堂上重點講解.教師對學生的學習活動進行整體串聯與跟蹤，全面評估學生的學習情況，在學生遇到困難時，給予及時的支持，輔助學生進行學習，促進學生構筑思維結構圖［3］.

2.2" 函數概念及復合函數

在介紹函數的概念時，可以結合數學文化中的審美特征和歷史特征，讓學生了解函數在數學史中的發展及其在數學美學中的應用.在教學中引導學生從映射的觀點去理解函數的概念，明確函數的三個要素.

師" 什么叫從集合到集合上的映射？

師" 從映射的觀點如何定義函數？

函數實際上就是集合A到集合B的一個映射f：A → B，其中集合A，B非空集.

定義域是原象的集合，值域是象的集合（記作C）其中CB.

即f：對應法則xSymbolNC@A→ySymbolNC@B.

函數符號可以表示為y=f（x），讀作“y是x的函數”，簡記為f （x）.

結合課本中的例子，帶動學生理解與思考，強化學生對函數概念的理解，深化學生對一次函數、反比例函數、二次函數的理解.

二次函數的值域應分a gt; 0，a lt; 0討論，教師在課堂中帶動學生思考.

在函數值f （a）講解中，以f（x）=x2+3x+1為例進行課程講解，得出f（2）=22+3×2+1=11.

在y=f（x）中f表示對應法則，不同的函數含義不一樣.促進學生了解對應法則、定義域、值域三要素.

以下述習題為例，教師帶動學生深入分析，引導學生思考.

下列各組中的兩個函數是不是同一函數？并說出原因.

（1）y1=x+1x－1，

y2=（x+1）（x－1）.

解" 不是同一函數，定義域不同.

（2）f（x）=x，F（x）=3x3.

解" 是同一函數.

（3）y1=（x+3）（x－5）x+3，y2=x－5.

解" 不是同一函數，定義域不同.

（4）f（x）=x，g（x）=x2.

解" 不是同一函數，值域不同.

（5）f1（x）=（2x－5）2，f2（x）=2x－5.

解" 不是同一函數，定義域、值域都不同.

在復合函數教學中，教師帶動學生理解復合函數的定義.

設f（x）=2x－3，g（x）=x2+2，那么稱fg（x）（或gf（x））為復合函數.

fg（x）=2x2+2－3=2x2+1，

gf（x）=2x－32+2=4x2－12x+11，

以下題為例進行分析.

已知：f（x）=x2－x+3，

求：f1x，f（x+1）.

解" f1x=1x2－1x+3，

f（x+1）=（x+1）2－（x+1）+3=x2+x+3.

在教學中，教師從映射出發，引出函數的定義與符號f（x），加深學生對函數要素的理解，深化復合函數的學習.

2.3" 定義域

函數自變量x取值的集合叫作函數y=f（x）的定義域.給定函數時，應當指明函數的定義域.用解析式表示的函數若沒有給出定義域，則認為函數的定義域為函數表達式有意義的自變量取值的集合.在關于函數定義域的教學中，教師對相關知識進行整合，促進學生掌握分式函數、根式函數定義域的求法，以具體習題為例，帶動學生理解與思考.教師結合生活中的實例引出函數定義域的概念，激發學生的學習興趣.詳細講解函數定義域的定義、求解方法，并演示如何找出給定函數的定義域，促進學生理解.設計多樣化的練習題，讓學生自主練習，鞏固所學知識.回顧本節課的重點內容，強調函數定義域的重要性，引導學生思考如何在實際問題中應用所學知識［4］.

例" 求下列函數的定義域：

（1）f（x）=1x－2；

（2）f（x）=4－x2－1.

解" （1）為了使該函數有意義，要求滿足：x－2≠0，x≠2，

所以函數f（x）=1x－2的定義域是：x|x≠2.

（2）為了使得該函數有意義，要求滿足以下條件：

4－x2≥1，

即－3≤x≤3，

所以函數f（x）=4－x2－1的定義域為：x－3≤x≤3.

2.4" 分段函數與區間

高中函數課程知識的重要組成部分之一是分段函數與區間.在教學過程中，教師應對分段函數的相關知識進行梳理，以幫助學生掌握相關的課程知識內容.教師應結合教材相關內容，講解函數常見的解析法、列表法、圖象法等三種表示方法，要求學生明晰分段函數與區間的概念，結合函數文化，實現對該部分內容的精準理解［5］.

解析法即將兩個變量的函數關系用一個等式來表示，這種表示方式關系清楚，便于計算函數值，函數的性質也一目了然.較為常見的例子有：

圓面積公式：S=πr2，

二次函數：y=ax2+bx+c（a≠0），

圓柱表面積：s=2πrh+2πr2，

在y=x+1－x－3分析中，運用“零點法”將絕對值符號去掉，得出：

y=x+1－x－3

=14，x≤－1，2x－2，－1lt;x≤3，4，xgt;3.即得到分段函數.

列表法是通過列出表格展示兩個變量之間的函數關系，在分析函數關系時，不必計算就能夠直接得出函數的對應值.教師可以引導學生思考生活中的常見案例，例如國民生產總值表、三角函數表、平方根表、立方根表、平方表、立方表、車輛里程價目表等，通過這些實例引發學生的思考，幫助他們理解函數變量之間的關系［6］.

圖象法則是使用函數圖象來表示兩個變量之間的關系.一次函數、二次函數、反比例函數圖象等是較為常見的函數圖象.教師可以講解氣象臺溫度的自動記錄器的原理，引導學生理解溫度隨時間變化的過程，從而加強學生的認知與學習.人口出生率變化曲線也是較為典型的例子，它可以幫助學生輕松理解函數關系.圖象法能夠直觀形象地表示出函數的變化情況，在多種場景中被廣泛運用，具有較強的運用價值.函數的圖象有多種不同的呈現方式，包括拋物線等曲線、一次函數等直線以及折線等，形態多樣，適用于不同的情況.

3" 人教版高中數學“函數”內容教學思考與拓展

在高中函數內容教學設計中，結合數學文化，對函數相關知識進行全面梳理，重點關注初高中知識內容的差異，引導學生探討高中函數知識點的不同，由此實現對初中函數相關知識內容的深化和升華.在高中階段，從更高的維度上認知函數，并在教學過程中融入數學的人文價值，構建系統的數學思維，促進學生核心素養的培育.通過對課堂教學內容的不斷反思與總結，學生可以加深對函數文化本質與數學思想的理解，進而實現新課程的教學目標［7］.

函數思想作為一種基礎性的數學思想，貫穿于數學課程的多個內容之中.教師應引導學生將函數作為一種文化索引進行教學探索，將數學作為一種文化進行全面探索與分析，以實現學生思維的拓展.為此，在函數知識教學中，教師應結合具體的函數知識內容，設計表現性任務與學習作業，引導學生探索函數產生的背景與相關故事，帶動學生分析函數的發展歷程.教師還應帶領學生搜索并解讀歐拉、笛卡兒等數學家的故事，領會數學家的探究精神.學生應基于自己的興趣與理解，積極搜索關于函數的相關故事，并融入自己的理解，由此在實踐探索過程中感受一代代數學家的偉大探索精神，體會函數發展的曲折歷程，從而強化對數學文化的理解，并培育探究意識.

4" 結語

在高中數學教學設計中，結合數學文化進行教學設計，有利于對課程教學內容進行深入探索，促進學生從多個維度掌握課程知識.在教學設計中，要求教師具有深厚的知識底蘊，能夠對課程知識內容進行深入挖掘，深入探究課程知識的本質，提高課程教學效率.在人教版高中數學“函數”教學設計中，教師可以借助數學文化，促進學生對函數知識內容的深入學習，帶動學生更好地理解數學思想，營造良好的數學文化氛圍，促進學生對函數知識的深入理解.

參考文獻：

［1］王運行.基于核心素養的高中數學作業優化設計——以“冪函數”教學為例［J］.數理天地（高中版），2024（07）：51-52.

［2］尤裕.聯系與發展理念下的初、高中教學銜接——以“冪函數”教學設計為例［J］.高中數學教與學，2024（02）：23-26.

［3］張瑾，李園園.基于大概念的高中數學大單元教學設計——以人教A版高中數學必修第一冊函數大單元為例［J］.課程教學研究，2023（12）：59-65.

［4］姚亞男.探究高中函數概念深度學習內涵及教學策略——以“函數的概念”一課時為例［J］.新課程，2022（36）：1-3.

［5］夏啟明，曹鑫月，陸萬順.讓數學核心素養在高中數學課堂落地生根——以人教版高中“函數的奇偶性”教學為例［J］.中學數學，2023（23）：35-37.

［6］方天佑.基于深度學習的高中數學教學設計——以“三角函數”為例［J］.新課程，2023（20）：34-36.

［7］徐文倩.數學抽象核心素養視野下高中數學概念課教學設計——以函數概念教學為例［J］.數學學習與研究，2022（29）：80-82.