“先取后排”思想在解答排列組合問題中的應用

【摘要】從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素，并按照一定的順序排成一列，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個排列（arrangement）.排列中蘊含著“先取后排”的思想，若在解答排列組合問題時用好這種思想，一方面可以幫助學生更好地理解問題，另一方面可以解答常規方法不好解決的一些問題.

【關鍵詞】先取后排；排列組合；高中數學

1" 常規問題

例1" 一個火車站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火車，現要停放4列不同的火車，共有多少種不同的停放方法？

分析" 本題常規解法為：由于停放4列火車不同，故為排列問題，所以不同的停放方法數為A48=1680.對于這種解法，好多學生不理解，如果按照“先取后排”思想解答，思路清楚，學生容易接受.

解析" 第1步：從8股岔道中任取4股岔道，共有C48種方法；第2步：將4列不同的火車停放到選出的4股岔道上，有A44種方法，由分步乘法計數原理得，共有C48·A44=1680種停放方法.

例2" 從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項不同的工作，若這3人中至少有1名女生，則選派方案共有（" ）

（A）108種.""" （B）186種.

（C）216種." （D）270種.

分析" 從題意可知，先選出3人，然后再安排這3人從事三項不同的工作，屬于典型的“先取后排”問題.

解析" 第一步：從4名男生和3名女生中選出3人，并且至少有一名女生，共有C37－C34=31 種方法，或者：C13C24+C23C14+C33=31種方法；第二步：將選出的三人安排從事三項不同的工作，共有A33=6種方法，由分步乘法計數原理得：共有31×6=186種方法，故選（B）.

2" 定序問題

例3" 若7名同學站成一列，其中甲必須站在乙的前面，乙必須站在丙的前面（其中甲和乙，乙和丙可以相鄰也可以不相鄰）的排法共有多少種？

分析" 由題意可知，甲、乙、丙三人排列相對順序一定，稱之為“定序”問題.常規解法為消序法，7名同學站成一列，共有A77種方法，共中甲、乙、丙三人任意排列有A33種順序，現在我們要其中的一種順序，所以有A77A33=840種排法.對這種方法，由于抽象，好多學生不理解，只有靠記憶記住這種解法.下面用“先取后排”的思想解答此題，即可幫助同學們快速理解本題.

解析" 因為7名同學站成一列，并且甲、乙、丙三人排列相對順序一定，所以，第一步：因為7人站成一列，共有7個位置，所以先從7個位置中取三個位置，有C37種方法；第二步：把甲、乙、丙三人安排到這三個位置，因為這三人相對順序一定，所以有1種方法；第三步：把剩下的4人安排到剩下的4個位置中，有A44種方法，由分步乘法計數原理得，共有C37×1×A44=840種排法.

例4" 書架上原來并排放著5本書，現要再插入3本不同的書，則有多少種不同的插法？

分析" 本題常規解法為插空法.要插入3本不同的書，我們可以一本一本地插入，不妨將這三本不同的書分別取名為A，B，C.第一步：將書A插入進來，因為原來并排放著5本書，產生了6個空位，所以有6種方法；第二步：將書B插入進來，因為現在有6本書并排放著，產生了7個空位，所以有7種方法；第三步：將書C插入進來，因為現在有7本書并排放著，產生了8個空位，所以有8種方法，由分步乘法計數原理得，共有6×7×8=336種方法.換個角度看這個問題，因為要在并排放著5本書中插入3本不同的書，所以原來這5本書相對順序不變，所以我們可以按照定序的問題來解決，即可以按照“先取后排”的思想來解決.

解析" 第一步：因為最終是將8本書排成一排，所以有8個位置，所以從8個位置中任取5個位置，有C58種方法；第二步：將原來并排放著的5本書放到選出的5個位置中去，因為這5本書相對順序不變，所以只有一種放法；第三步：將要插入的3本不同的書放到剩下的3個位置中去，因為任意放，所以共有A33種方法，由分步計數原理，共有C58×1×A33=336種方法.

例5" 某電視節目的主持人邀請年齡互不相同的5位嘉賓（3位老人和2位兒童）逐個亮相.

（1）其中有3位老人要按從大到小的年齡順序出場，出場順序有多少種？

（2）3位老人與2位兒童都要分別按從大到小的年齡順序出場，順序有多少種？

分析" （1）因為3位老人要按從大到小的年齡順序出場，顯然這3位老人屬于定序問題；（2）因為3位老人與2位兒童都要分別從大到小的年齡順序出場，所以3位老人相對出場順序一定，2位兒童相對出場順序也一定，屬于定序問題.都可以按照“先取后排”思想輕松解答.

解析" （1）第一步：從5個出場順序任取3個，有C35種方法；第二步：將3位老人安排到選取的3個出場順序中，由于3位老人要按從大到小的年齡順序出場，所以只有1種安排方法；第三步：將2位兒童任意安排到剩下的兩個出場順序中去，有A22種方法，由分步計數原理得，共有C35×1×A22=20種出場順序.

（2）第一步：從5個出場順序任取3個，有C35種方法；第二步：將三位老人安排到選取的3個出場順序中，由于3位老人要按從大到小的年齡順序出場，所以只有1種安排方法；第三步：將2位兒童安排到剩下的兩個出場順序中去，因為兩個兒童也按年齡從大到小的出場順序出場，所以也只有1種方法，由分步計數原理得，共有C35×1×1=10種出場順序.

3" 重復元素排列問題

例6" （2021年全國甲卷（文科）第10題）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（" ）

（A）0.3." （B）0.5." （C）0.6." （D）0.8.

分析" 本題雖為古典概型概率問題，但本質仍為排列組合問題.

解析" 設事件A=“2個0不相鄰”.因為3個1和2個0隨機排成一行，共有5個位置，第一步：先從5個位置中取出3個位置，有C35種方法；第二步：將3個1放到這三個位置中，因為數字相同，所以共有1種放法；第三步：將2個0放到剩下的兩個位置中去，因為數字相同，所以也有1種放法，所以將3個1和2個0隨機排成一行，共有C35×1×1=10種方法；下面求事件A包含的可能結果，若想2個0不相鄰，采用插空法，第一步：把3個1排成一行，因為數字相同，所以只有1種排法，產生了4個空位；第二步：從4個空位中任取2個空位，有C24種方法；第三步：將兩個0放到取出的2個空位中，因為數字相同，所以有1種放法，所以事件A包含的可能結果有1×C24×1=6種方法，所以P（A）=610=0.6，故選（C）.

4" 結語

“先取后排”一般包含兩種情況，一是先取“元素”，即從總的元素中先取出符合條件的元素，再安排到一定的位置上去；二是先取“位置”，即先從總的位置中取出與特殊元素相同數目的位置，然后把特殊元素排到這些位置中去.若在解答“定序”“重復元素排列”等問題中充分運用這種“先取后排”思想，可以使過程清晰，化繁為簡，化難為易.