極值點存在求參數(shù)取值范圍問題淺析

【摘要】本文由一道極值點存在求參數(shù)取值范圍問題，給出高等數(shù)學中可以使用的極值點成立的第二、第三充分條件.通過例題說明解題過程中如何使用定理達到去參化的效果及其注意事項，使學生在以后的解題過程中及高考應試中可以放心地使用定理.最后通過應用定理解決2023年高考數(shù)學導數(shù)壓軸題，讓學生學以致用.

【關鍵詞】高階導數(shù)；高中數(shù)學；解題技巧

函數(shù)與導數(shù)綜合問題是高考數(shù)學壓軸題之一，思考過程中經(jīng)常需要判斷導函數(shù)甚至二階、三階導函數(shù)的符號與零點，以確定原函數(shù)的單調(diào)性與極值點.難度較大.2020版高中數(shù)學新教材對于極值點只給出了極值點成立的第一充分條件：即存在x0使f′x0=0且x→x－0時與x→x+0時f′x符號異號，則x0為fx的極值點.用這種方法實際解題時，學生很難快速解決問題.

在高考壓軸題的培優(yōu)強化教學中，教師要注重中學數(shù)學與高等數(shù)學知識上的銜接.下面結合這種理念以具體例題來研究極值點存在求參數(shù)取值范圍問題.

1" 常規(guī)解法，檢驗思維素養(yǎng)

“通性通法”是學生解決數(shù)學問題最基本、最常用、最直接的解題方法.學生在學習、思考過程中往往會忽視基礎知識和基本技能等通性通法的培養(yǎng)與提升.在學生學習和教師教學中要避免此類問題.

例1" 已知函數(shù)fx=xlnx－a2x2（a∈R），若gx=fx+a－1x在x=1處取得極小值，求實數(shù)a的取值范圍.

這道題目的常規(guī)解法為：先求g′x=lnx－ax+a.令hx=lnx－ax+a.顯然h1=g′1=0，所以只要x=1附近gx先減后增就能滿足條件.因為h′x=1x－a=1－axxxgt;0.

（1）當a≤0時，h′xgt;0，所以hx=g′x，單調(diào)遞增.

所以0，1上gx單調(diào)遞減，1，1a上gx單調(diào)遞增，滿足x=1處取得極小值條件.

（2）當0lt;alt;1時，因為h′x在0，+∞上單調(diào)遞減，且1agt;1，h′1a=0.

顯然0，1上h′xgt;0，hx單調(diào)遞增，1，1a上h′xgt;0，hx單調(diào)遞增.

因為g′1=0，0，1上gx單調(diào)遞減，1，+∞上gx單調(diào)遞增，滿足x=1極小值條件.

（3）當a=1時，0，1上h′xgt;0，hx=g′x單調(diào)遞增，1，+∞上h′xlt;0，hx=g′x單調(diào)遞減.

因為g′1=0，所以gx在0，+∞上單調(diào)遞減，無極值.

（4）當agt;1時，0lt;1alt;1，

所以1a，1上h′xlt;0，hx=g′x單調(diào)遞減，1，+∞上h′xlt;0，hx=g′x單調(diào)遞減.

所以g′x在1a，1上單調(diào)遞增，在1，+∞上單調(diào)遞減.x=1為極大值，不滿足條件.

綜上alt;1.

2" 發(fā)現(xiàn)新知，嘗試初見效果

優(yōu)秀的學生不僅需要掌握解決教材例題基本問題的通性通法并靈活遷移應用到其他問題，還需要對所學的基礎知識、基本技能進行類比、內(nèi)化，理解其蘊含的基本數(shù)學思想方法并由此從特殊到一般，發(fā)現(xiàn)新規(guī)律，猜測新結論.這樣才有助于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的提升及數(shù)學基本活動經(jīng)驗的獲得.

如上例解題過程，需要同時考慮到原函數(shù)、導函數(shù)、二階導數(shù)、二階導數(shù)的分子函數(shù)4種函數(shù)相互轉(zhuǎn)化關系.并綜合數(shù)形結合、分類整合等多種數(shù)學思想方法才能最終得出結論，對學生要求較高，一般學生很難獨立思考完成.

解決極值點存在問題時總結對比發(fā)現(xiàn)極值點的二階導數(shù)有一個共同的規(guī)律：如果一個函數(shù)y=fx滿足條件f′x0=0，則當滿足f″x0lt;0時x0為極大值點，當滿足f″x0gt;0時x0為極小值點.

例1中有g′x=lnx-ax+a，因為g″x=1x－a.顯然g′1=0，那么只要g″1=1－agt;0，也就是只要alt;1就可以快速得出正確結論.

3" 縝密分析，發(fā)現(xiàn)新知問題

由猜想和類比聯(lián)想而得到的問題結論或解題途徑，是一種由特殊到一般的不完全歸納法，它雖能幫助解題，但不能代替解題，還要接受嚴密推理和實踐的檢驗以進一步完善.要讓學生養(yǎng)成對新發(fā)現(xiàn)的規(guī)律、結論去檢驗其完備性及是否具有普適性，有沒有理論支持的習慣.

函數(shù)極大值、極小值特殊判定方法是否能推廣至其他函數(shù)？下面以一道簡單的例題來驗證，求函數(shù)y=x4的極值點：通過研討發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=x4中，y′=4x3，y″=12x2，所以y′0=0，y″0=0.按三次函數(shù)規(guī)律，0應該不是極值點.但通過描繪y=x4的圖象可知0是極小值點.這說明三次函數(shù)的極值判定方法對其他函數(shù)來說不一定成立.上述函數(shù)的性質(zhì)雖不能向其他函數(shù)推廣，但f″x0lt;0，f″x0gt;0時x0為極值點是有道理的，只是存在一定的漏洞.那么能不能把這種解法完善一下呢？

4" 完善新知，重新細化結論

每一個和中學數(shù)學相關的高等數(shù)學知識，如果由學生歸納、聯(lián)想和猜測發(fā)現(xiàn)了其核心結論，那么教師在教學中一定要詳細向?qū)W生說明高等數(shù)學定理內(nèi)容，并告訴學生在中學數(shù)學解題中如何使用.一定要規(guī)范學生的解題步驟及書寫格式，這樣才能避免使用時因敘述不清楚而失分.

結論是確定的，可以用上面的方法來簡化運算，但要用到大學的利用高階導數(shù)來判定極值相關知識，可以作如下簡單補充：

如fkx0=0，fnx0≠0，則k=1，2，3，…，n－1時，

（1）n為偶數(shù)時，在x0處有極值.若fnx0lt;0，則x0為極大值；若fnx0gt;0，則x0為極小值.

（2）n為奇數(shù)時，不取極值.

當n=2時，可以得到函數(shù)存在極值點的第二充分條件：如f′x0=0且f″x0≠0.當f″x0lt;0時x0為極大值點，當f″x0gt;0時x0為極小值點.對四次函數(shù)：因為y′=4x3，y″=12x2，y=24x，y″″=24，所以y′0=y″0=y0=0，y″″0≠0.且y″″0gt;0，所以x0為極小值點是對的.

那么例1的簡便解法也可行，但不完整，要補充一下：因為g′1=0，要說明的是g″1≠0，才可以由g″1=1－agt;0得出1為極小值點.也就是只要先證明g″1=0，求得a=1時1不為極小值點就完整了.顯然這樣省去了另外三種含參的討論，也是一個很好的方法.此法最大的優(yōu)點是我們證明f″x0gt;0，但運用了逆向思維，先令f″x0＝0求出參數(shù)a的值.進而轉(zhuǎn)化為無參函數(shù)討論x0是否為相應的極值點這類教材中常見的題型.熟練掌握這種含參函數(shù)向無參函數(shù)化歸轉(zhuǎn)化的思想方法會給學生今后的學習帶來極大的促進作用.

5" 考題檢測，體驗去參效果

教學過程是一個特殊的認識過程，學生在教學過程中所學的知識，大都是前人已經(jīng)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的知識和經(jīng)驗，而不是學生親自得來的.所以對于學生來說，每一個數(shù)學知識、技能、思想方法、基本活動經(jīng)驗的獲得其實都是一個“發(fā)現(xiàn)——應用——內(nèi)化——再發(fā)現(xiàn)——再創(chuàng)造——再應用”的過程.只有學以致用才能加深對新知的理解并充分體會到成功的喜悅，這也是提升學生數(shù)學素養(yǎng)的必經(jīng)之路.

以下將用2023年高考新課標2卷最后一道導數(shù)壓軸題來檢驗上述探討的函數(shù)存在極值點的第二充分條件在解題中應用的效果并幫助學生學會解題步驟的規(guī)范書寫：

（1）證明：當0lt;xlt;1時，x－x2lt;sinxlt;x.

（2）已知函數(shù)f（x）=cosax－ln（1－x2），若x=0是f（x）的極大值點，求參數(shù)a的取值范圍.

第一問，學生用構造函數(shù)求最值的方法很容易解決，重點來看第二問.

因為f′（x）=-asinax+2x1－x2，

所以f′（0）=0，

f″（x）=-a2cosax+2－2x2（1－x2）2，

所以f″（0）=2－a2，

當f″（0）=0時，2－a2=0，a=±2.

下面證明a=±2時x=0不是f（x）的極大值點.

當a=2時，f′（x）=-2sin2x+2x1－x2，由（1）的結論知當0lt;xlt;1時，sinxlt;x.

－2sin2xgt;－2·2x=－2x，

f′（x）gt;－2x+2x1－x2=2x31－x2gt;0.

所以在（0，1）區(qū)間上函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，與x=0為函數(shù)f（x）的極大值點相矛盾.

當a=－2時，f′（x）=－－2sin－2x+2x1－x2=－2sin（2x）+2x1－x2，

所以仍有區(qū)間（0，1）上函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，與x=0為函數(shù)f（x）的極大值點相矛盾.

由函數(shù)存在極值點的第二充分條件可得，只要滿足f″0lt;0，就能滿足x=0是f（x）的極大值點.2－a2lt;0，a2gt;2即可.故a∈－∞，－2∪2，+∞.

本文中的兩道極值存在求參數(shù)取值范圍問題，在解答過程中實際上引入了高等數(shù)學極值點存在的第二、第三充分條件.很多學生都可以由教材及習題解題過程發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律，只是不敢貿(mào)然使用.教師需要進行適當引導，給出高等數(shù)學中可以使用的定理及說明解題過程中的注意事項.這種化含參為無參的理念對提高學生數(shù)學素養(yǎng)會起到重大的促進作用.

6" 結語

美國著名教育學家Ｇ·波利亞說過“學習任何東西的最佳途徑就是靠自己發(fā)現(xiàn).”導數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的基本工具，也是解決優(yōu)化問題的一種通法.教學要使學生通過對一個個數(shù)學對象的研究，體悟具有普適性的數(shù)學思想與方法，逐步掌握解決數(shù)學問題的“相似的方法”，進而獲得數(shù)學活動經(jīng)驗，形成“數(shù)學思維方式”.

【本文是海南省教育科學規(guī)劃專項課題“單元整體理念下數(shù)學基本活動經(jīng)驗與核心素養(yǎng)培育研究”（項目編號：QGH202310130）的階段性成果】

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