對一道圓錐曲線過定點高考試題的探究

【摘要】高考數學中，定值定點問題是非常重要的考點，如何突破這個考點，是重點研究的內容.本文以高考圓錐曲線過定點問題為例進行分析，總結不同類型的過定值定點問題的解決方法，并結合具體例題進行強化拓展訓練，增進教學思考.

【關鍵詞】圓錐曲線；定值定點；高中數學

本文以高考題為例，通過對高考真題的分析，尋找試題背后的本質規律.高考在注重基礎的前提下，注重考題的創新和對學生計算能力、推理能力的考查.學生在做題時拆分考題和總結規律相當重要.

1" 高考真題再現

1.1" 線段的中點為定點問題

例1" （2023年全國乙卷第20題）已知圓錐曲線 C：y2a2+x2b2=1（agt;bgt;0）的離心率為53，點A（－2，0）在C上.

（1）求C的方程；

（2）過點（-2，3）的直線交C于P，Q兩點，直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N，證明：線段MN的中點為定點.

考題解析" 本題仍然是以過定點的動直線與橢圓相交為背景的題目，橢圓的端點A與兩個動點P，Q的連線與y軸相交，求與y軸兩個交點所得線段的中點為定點的問題.一般方法，解答本題的關鍵是采用數形結合設而不求的方法，求出線段兩個端點的坐標，利用中點坐標公式得出中點橫縱坐標表達式，觀察其特點，確定定點.

（1）因為點A（－2，0）在C上，

所以4b2=1，得b2=4.

因為橢圓的離心率e=ca=53，

所以c2=59a2，

又a2=b2+c2=4+59a2，

所以a2=9，c2=5，

故橢圓C的方程為y29+x24=1.

（2）由題意知，直線PQ的斜率存在且不為0，設直線PQ的方程為lPQ：y－3=k（x+2），Px1，y1，Qx2，y2，

引入參數，由曲線方程和直線方程聯立

y－3=k（x+2），y29+x24=1，

整理得4k2+9x2+16k2+24kx+16k2+48k=0，

因直線與曲線有兩個交點，可得

x1x2=16k2+48k4k2+9，x1+x2=－16k2+24k4k2+9，

直線AP的方程為lAP：y=y1x1+2（x+2），由于直線AP過定點A和動點P，動點M，所以kAP=kAM，即yM2=y1x1+2.

同理得yM+yN=2y1（x2+2）+y2（x1+2）（x1+2）（x2+2），

yN2=y2x2+2=kAN=kAQ，則

=2（kx1+2k+3）（x2+2）+（kx2+2k+3）（x1+2）（x1+2）（x2+2）

=22kx1x2+（4k+3）（x1+x2）+8k+12x1x2+2（x1+x2）+4

=22k（16k2+48k）+（4k+3）（－16k2－24k）16k2+48k+2（－16k2－24k）+4（4k2+9）+

（8k+12）（4k2+9）16k2+48k+2（-16k2-24k）+4（4k2+9）

=2×10836=6.

所以MN的中點的縱坐標為yM+yN2=3，

所以MN的中點為定點（0，3）.

此題可以歸為圓錐曲線上一定點和兩個動點斜率和為定值，則動直線過定點的問題.

2" 拓展變式強化，總結方法

以圓錐曲線為背景的定值定點問題：關鍵是設參數，建立參數間的聯系，采用設而不求整體代入法.這里的參數要參與運算，但是最后得出的結果要和所設的參數沒有關系.

例2" 已知雙曲線C：x2a2-y2b2（agt;0，bgt;0）的離心率為2，且過點E1，0，

（1）求雙曲線的標準方程；

（2）不與x軸垂直的直線l：y=kx+m與雙曲線C交于N，H兩點（異于點E）.若直線NE，HE的斜率之積為2，證明直線l過定點.

（1）由雙曲線的離心率為2，且過點（1，0），

得e=ca=2，c2=a2+b2，1a2=1，

解得a=1，b=3，

所以雙曲線C的標準方程為x2－y23=1.

（2）直線l過定點，定點坐標為－15，0.

由題意，已知直線l的斜率存在，

設N（x1，y1），H（x2，y2），

聯立y=kx+m，x2－y23=1，

得（3－k2）x2－2kmx－m2－3=0，

當Δgt;0 時，得m2+3－k2＞0，且3－k2≠0，

根據根與系數的關系，

得x1+x2=2km3－k2，x1x2=m2+3k2－3，

已知E（1，0），則：

kNE·kHE=y1x1－1·y2x2－1

=（kx1+m）（kx2+m）（x1－1）（x2－1）

=k2x1x2+km（x1+x2）+m2x1x2－（x1+x2）+1=2，

化簡得k2－4km－5m2=0，

解得k=5m或k=－m，

當k=5m時，y=5mx+m=m（5x+1），直線l過定點－15，0，

當k=－m時，y=－mx+m=m（－x+1），直線l過定點1，0，舍去.

綜上所述，直線l過定點－15，0.

3" 結語

圓錐曲線定值定點問題，是考查學生邏輯思維能力、空間想象能力、運算求解能力和邏輯推理能力的綜合性很強的題型.這道題，充分體現了高考評價體系中基礎性、綜合性、應用性、創新性的考查要求.所以在教學中要注重對學生的基礎知識、基本能力和基本數學素養的培養，還要讓學生多角度觀察思考，從中發現問題、分析問題進而解決問題.