借助一題多解，開闊高中生數學解題思路

【摘要】解題教學在整個高中數學教學中占據著極為重要的地位，學生通過反復做題能夠掌握更為簡潔與高效的解題方法，但是在平常解題訓練中，他們的思路極易受到限制，通常找到一種解題方法以后就不再進行深度思考．教師可借助一題多解開闊學生的解題思路，讓他們確定最佳解題方案，本文據此展開分析和探討，并羅列部分解題實例．

【關鍵詞】一題多解；高中數學；解題思路

一題多解簡單來說就是處理同一道題目時，擁有多種不同的解題方法．在高中數學教學實踐中，解題訓練屬于常規教學環節之一，解題水平的高低直接關系到高考數學成績，為鍛煉學生的解題能力，教師可安排一題多解練習，讓他們在處理同一試題時嘗試尋找更多不一樣的解題方法，使其解題思路得以開闊，最終通過尋找最優思路準確、快速地完成解題．

1" 借助一題多解解答集合試題

集合作為學生步入高中以后接觸到的第一個數學知識點，屬于高中數學課程體系的一項基礎內容，是學習后續知識的鋪墊，雖然相關試題難度不是特別大，但是同一題目往往也有多種解法．高中數學教師可圍繞集合試題為學生提供一題多解的機會，使其采用多種方法解題，開闊他們的解題思路，同時有助于學生深入理解集合相關知識，為后續解題做鋪墊［1］．

例1" 已知集合M={x|y2=x+1}，N={x|y2=－2（x－3）}，那么這兩個集合的交集是（" ）

（A）{（x，y）|x=53，y=±263}．

（B）（－1，3）．

（C）［－1，3］．

（D）（－∞，3）．

分析" 解答這一集合試題時，首先需判斷出這兩個集合中元素的特征，這是求它們交集的切入點，而且兩者交集的元素并不是（x，y），而是x，然后利用元素的互異性及選擇題的特點找到不同解法．

詳解 "解法1" 根據y2=x+1，

得到x=y2－1≥－1，

則集合M={x|x≥－1}=［－1，+∞），

根據y2=－2（x－3），

得到x=-12y2+3，

則可得集合N={x≤3）}，

那么M∩N={x|x－1≤x≤3}=［－1，3］，

所以正確答案是選項（C）．

解法2" 根據選擇題的特殊性可運用排除法，

由于這兩個集合交集的元素為x，并不是（x，y）形式，故排除選項（A）．

對（B）（C）兩個選項進行對比，如果取x=－1，－1∈M，－1∈N，則－1∈M∩N，故排除（B）選項．

對（C）（D）兩個選項進行對比，如果取x=－2，－2M，故排除（D）選項．

綜合起來只有（C）選項符合題意．

2" 借助一題多解解答函數試題

函數是學生在初中時期就開始學習的數學知識，來到高中之后，所學的函數類型有所擴大，將會遇到大量新式函數，還要深入研究函數的概念、性質與公式等，他們在學習過程中極易遇到障礙．在高中數學函數解題教學中，教師可指引學生進行一題多解練習，使其從多個視角分析同一題目，助推他們能夠利用已知信息及所學知識找到最為恰當的解題方法［2］．

例2" "已知在銳角△ABC中，sinA=2sinBsinC，請求出tanAtanBtanC的最小值．

分析" 這是一道比較常見的三角函式題目，根據題干中提供的已知條件，能夠采用不同的解題方法，主要利用角之間的關系及三角函數誘導公式進行解題．

詳解" 解法1" 結合題意能夠得到sinBsinC=12sinA①，

令cosBcosC=tcosA②，

讓式子①÷②可以得到tanBtanC=12ttanA，

讓式子①－②可以得到sinBsinC－cosBcosC=－cos（B+C），

因為△ABC是銳角三角形，

所以cosA=－cos（B+C），

那么cosA=－cos（B+C）=sinBsinC－cosBcosC，

再把式子①與②代入其中，能夠得到cosA=12sinA－tcosA，

那么tanA=2（1+t），

所以tanAtanBtanC=tanA×12ttanA=

12ttan2A=2（1+t）2t≥=2（2t）2t=2t+4+2t≥8，

當且僅當2t=2t時取等號，

所以tanAtanBtanC的最小值為8；

解法2" 由于sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，

兩邊可同時除以cosBcosC，

由此得到tanB+tanC=2tanBtanC，

根據tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，

可設x=tanA+tanB+tanC，

那么x=tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC≥2tanA×2tanBtanC=22x，

則x≥8，

所以tanAtanBtanC的最小值為8．

3" 借助一題多解解答數列試題

在高中數學教學過程中，數列作為一項關鍵的教學內容，主要學習等差和等比兩大常見數列，在高考數學中經常出現，屬于一個高頻考點．在數列解題訓練中，高中數學教師可以安排部分適合一題多解的試題，帶領學生靈活采用數列有關知識進行思考和研究，借此開闊他們解題思路，使其思維變得更為靈活、敏捷與多變，提高他們的解答數列試題的效率［3］．

例3" 已知數列an是一個等差數列，其中a1lt;0，S9=S12，請問在該數列中，前幾項的和有最小值？

分析" 學生根據題干中提供的已知信息可采用不同的思路進行解題，分別用到等差數列的定義與通項公式，根據轉折項使用等差中項的性質，借助函數思想把原問題變換為函數試題．

詳解" 因為在等差數列an中S9=S12，

所以9a1+9×82d=12a1+12×112d，

則d=－110，

a1又因為a1lt;0，

故公差大于0，數列an具有遞增的性質.

下面采用不同的解題方法：

解法1" 因為an=a1+（n－1）d≤0，

an+1=a1+nd≥0，

所以1－110（n－1）≥0，

1－110n≤0，

由此求得10≤n≤11，

故當n=10或者n=11時，數列an的前n項和Sn有最小值，

所以數列an的前10項或者11項之和的值最小．

解法2" 因為S9=S12，

所以a10+a11+a12=3a11=0，

故a11=0，

又因為a1lt;0，

所以公差dgt;0，

所以能夠判斷出數列an的前10項或者11項之和的值最小．

解法3" 因為S9=S12，

所以數列{an}的前n項和Sn的圖象所處的拋物線的對稱軸為x=9+122=10.5，

又因為a1lt;0，n∈N*，

所以數列an的前10項或者11項之和的值最小．

4" 借助一題多解解答幾何試題

數學分為代數和幾何兩大類知識，在高中數學教學中，以學習立體幾何和解析幾何方面內容為主，要求學生需具備較強的空間觀念、直觀能力與抽象思維．高中數學教師在幾何解題訓練中，可以巧妙布置一系列特殊題目，鼓勵學生采用多種不同的方法進行解題，使其解題思路變得開闊起來，幫助他們掌握解題竅門．

例4" 橢圓x225+y216=1的焦點分別為F1和F2，點P位于該橢圓上，且滿足PF1⊥PF2，那么以下說法正確的為（" ）

（A）P點存在2個．

（B）P點存在4個．

（C）P點可能不存在．

（D）P點一定不存在．

分析" 雖然這是一道圓錐曲線類試題，但是難度不是特別大，學生通過仔細分析能夠找到多種不同的解題方法，比如，可利用幾何法、三角函數法、假設法與向量法等，通過對比可以確定最佳解題思路．

詳解" 解法1" 將該橢圓的兩個焦點F1和F2連起來，視為一條直徑畫出一個圓，

則該圓的半徑r=c=3lt;4=b，

故這個圓與橢圓不會發生相交，

所以P點一定不存在，正確答案是選項（D）．

解法2" 結合題意可知，當P點位于該橢圓短軸端點上時，∠F1PF2有最大值，

設∠F1PF2=2α，

因為tanα=34lt;1，

故αlt;π4，

此時∠F1PF2為銳角，同已知條件PF1⊥PF2發生沖突，

所以P點一定不存在，正確選項為（D）．

解法3" 設∠F1PF2=θ，

因為PF1⊥PF2，

所以|PF1|+|PF2|=6cosθ+6sinθ=62sin（θ+π4）≤62，

由于|PF1|+|PF2|=2a=10，

但是62lt;10，

所以P點一定不存在，（D）選項正確．

解法4" 根據題意可設P點的坐標是（5cosθ，4sinθ），

因為PF1⊥PF2，

所以PF1·PF2=（5cosθ－3，4sinθ）（5cosθ+3，4sinθ）

=25cos2θ－9+16sin2θ

=0．

那么cos2θ=－79，解不存在，

所以P點一定不存在，正確答案為（D）選項．

5" 結語

綜上所述，高中數學是一門理論性與抽象性均比較強的科目，無論是學習理論知識還是解題練習都會碰到一些疑難障礙，尤其是在解題訓練環節，教師可借助一題多解激活學生的解題思維，使其解題思路變得更為開闊，逐步增強他們解題的信心，為未來高考做準備．

參考文獻：

［1］馮月華.淺析一題多解與一題多變在高中數學教學中的應用［J］.中學數學，2024（03）：59-60.

［2］王建華.“一題多解”教學的辯證思考與優化［J］.讀寫算，2023（22）：53-54.

［3］顧鋒，寧連華.數學解題教學：從“一題多解”到“一題優解”［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2023（07）：7-12.