高中數(shù)學(xué)大題的解題思路探討

【摘要】隨著新課改的不斷推進(jìn)，高中數(shù)學(xué)教育越來越注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維與創(chuàng)新能力.大題作為高中數(shù)學(xué)考試的重要組成部分，不僅考查學(xué)生的理論知識(shí)，更要求學(xué)生掌握扎實(shí)的基本概念，因此要求學(xué)生在解題過程中，熟悉大題的解題規(guī)律，學(xué)會(huì)總結(jié)與提煉解題方法.本文探討高中數(shù)學(xué)大題的解題思路，以具體習(xí)題為例進(jìn)行分析，為高中數(shù)學(xué)解題提供一定參考.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；基本概念；解題技巧

高中數(shù)學(xué)大題具有多種類型，在解題過程中應(yīng)當(dāng)對(duì)題目條件進(jìn)行精準(zhǔn)分析，準(zhǔn)確理解題意，明確題目所考查的知識(shí)點(diǎn).學(xué)會(huì)識(shí)別題目類型，有針對(duì)性地選擇解題方法.很多大題中均隱藏著一些不易察覺的條件，這些隱含條件往往對(duì)解題起到關(guān)鍵作用.因此，學(xué)生需具備敏銳的觀察力，從題干中挖掘出隱含條件.大題的解答往往依賴于基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用，學(xué)生需熟練掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、定理、概念等，在解題時(shí)能夠靈活運(yùn)用，結(jié)合題目中給出的相關(guān)條件，順利解答題目［1］.

例1" 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

（1）y=2x3－x+1x4；

（2）y=11－2x2；

（3）y=sin22x+π3；

（4）y=x1+x2.

解題思路" 在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中，鏈?zhǔn)椒▌t是一個(gè)重要的工具.每一個(gè)中間變量均應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t進(jìn)行求導(dǎo).求導(dǎo)后，將中間變量轉(zhuǎn)換回自變量的函數(shù)，使導(dǎo)數(shù)的結(jié)果更容易理解［2］.

（1）解法1

設(shè)u=2x3－x+1x，y=u4，

則y′x=y′u·u′x=4u3·6x2－1－1x2=42x3－x+1x36x2－1x2－1.

解法2

y′=2x3－x+1x4′=42x3－x+1x3·2x3－x+1x′

=42x3－x+1x36x2－1－1x2.

（2）解法1

設(shè)y′=u－12，u=1－2x2，

則y′x=y′u·u′x=－12u－32·－4x

=－121－2x2－32－4x=2x1－2x2－32

＝2x（1－2x2）1－2x2.

解法2

y′=11－2x2′=1－2x2－12′

=－12（1－2x2）－32·1－2x2′

=－12（1－2x2）－32·（－4x）

=2x（1－2x2）－32

=2x（1－2x2）1－2x2.

（3）解法1

設(shè)y=u2，u=sinv，v=2x+π3，

則y′x=y′u·u′v·v′x=2u·cosv·2

=2sin2x+π3·cos2x+π3·2

=2sin4x+2π3.

解法2

y′=sin22x+π3′

=2sin2x+π3·sin2x+π3′

=2sin2x+π3·cos2x+π3·2x+π3′

=2sin2x+π3·cos2x+π3·2

=2sin4x+2π3.

（4）解法1

y=x1+x2=x2+x4.

設(shè)y=u12，u=x2+x4，

則y′x=y′u·u′x=12u－12·（2x+4x3）=12（x2+x4）－12·（2x+4x3）=x+2x3x2+x4

=x（1+2x2）x1+x2=1+2x21+x2.

解法2

y′=（x1+x2）′=x′·1+x2+x（1+x2）′

=1+x2+x21+x2=1+2x21+x2.

學(xué)生在求解復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)時(shí)常見的錯(cuò)誤包括混淆變量和忘記對(duì)中間變量進(jìn)行求導(dǎo)，這主要是由于對(duì)復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)理解不清.應(yīng)理解每一個(gè)復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，識(shí)別哪些部分是基本函數(shù)，哪些部分是中間變量，以及這些部分是如何復(fù)合在一起的.只有明確了這些關(guān)系，才能準(zhǔn)確地應(yīng)用求導(dǎo)法則.選擇中間變量時(shí)，需要根據(jù)復(fù)合函數(shù)的具體特征決定.不同的復(fù)合函數(shù)中間變量的選擇不同，注意中間變量的取值范圍與對(duì)自變量的依賴關(guān)系.

在解決等比數(shù)列問題時(shí)，需明確數(shù)列的首項(xiàng)和公比.首項(xiàng)是數(shù)列的第一項(xiàng)，而公比是數(shù)列中任意兩項(xiàng)之間的比值.等比數(shù)列有一系列的基本公式，包括通項(xiàng)公式、求和公式等，其是解決等比數(shù)列問題的基礎(chǔ).熟悉并掌握這些公式，有助于快速準(zhǔn)確地解決問題.當(dāng)公比為正時(shí)，數(shù)列各項(xiàng)都為正或負(fù)（與首

項(xiàng)一致），并且隨著項(xiàng)數(shù)的增加，數(shù)列的值會(huì)增大或減小；當(dāng)公比為負(fù)時(shí)，數(shù)列呈現(xiàn)交替增減的趨勢(shì).因此，在解題時(shí)注意判斷公比的正負(fù).等比數(shù)列中，任意連續(xù)的三項(xiàng)均滿足等比中項(xiàng)的性質(zhì)，即中間項(xiàng)的平方等于兩邊項(xiàng)的乘積.這一性質(zhì)在解題時(shí)常常被用于檢驗(yàn)答案的正確性.

例2" 設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，同時(shí)a1，a3，a2成等差數(shù)列．

（1）求q的值；

（2）若{bn}為以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)n≥2時(shí)，比較Sn與bn的大小，并給出理由.

解 "（1）結(jié)合題目條件，若2a3＝a1＋a2，

則2a1q2＝a1＋a1q，

因?yàn)閍1≠0，

所以2q2－q－1＝0，

所以q＝1或－12．

（2）如果q＝1，

那么Sn=2n+n（n－1）2=n2+3n2．

在n≥2時(shí)，Sn－bn＝Sn－1＝（n－1）（n+2）2＞0，

故Sn＞bn．

如果q＝－12，

有Sn＝2n＋n（n－1）2·－12＝－n2+9n4．

當(dāng)n≥2時(shí)，

Sn－bn＝Sn－1＝（n－1）（10－n）4，

因此對(duì)于n∈N+，

當(dāng)2≤n≤9時(shí)，Sn＞bn；

當(dāng)n＝10時(shí)，Sn＝bn；

當(dāng)n≥11時(shí)，Sn＜bn．

結(jié)語

不同的題目可能有多種解法，選擇最優(yōu)解法能夠提高解題效率.完成解答后，要檢查答案是否正確，并進(jìn)行反思.在檢查答案的過程中，促進(jìn)學(xué)生及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，反思有助于增加解題經(jīng)驗(yàn).每次解題后，學(xué)生要及時(shí)總結(jié)規(guī)律，鞏固所學(xué)知識(shí)，從而提高解題效率.

參考文獻(xiàn)：

［1］周西鳳，張莉.“大單元教學(xué)”理念下提升學(xué)生核心素養(yǎng)的策略——以高中數(shù)學(xué)平面向量單元為例［J］.數(shù)理天地（高中版），2024（05）：19-20.

［2］師成林.高考數(shù)學(xué)題對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)用價(jià)值探討［J］.科幻畫報(bào)，2023（05）：55-56.