探究三角形中的正切問題

【摘要】三角形中的正切問題是各級各類考試中的填空壓軸題型，重點考查學生的邏輯推理能力以及化歸的數學思想.研究三角形中的正切問題有助于培養學生邏輯推理、數據分析的數學核心素養.

【關鍵詞】直角三角形；高中數學；解題技巧

引入" （1）兩角和差的正切公式：

tan（α+β）=tanα+tanβ1－tanαtanβ；

tan（α－β）=tanα－tanβ1+tanαtanβ.

（2）重要關系式：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

接下來就幾種常見的正切問題處理方法進行闡述：

例1" 在銳角△ABC中，sinA=2sinBsinC， 則tanAtanBtanC的最小值為""" .

剖析" 切化弦是解決正切問題的通法，通過消元手段轉化為不等式求最值，利用tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，再結合不等式求出最值.

解析" 方法1 ""因為sinA=sin（B+C），

sinA=2sinBsinC，

所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC ，

由cosBcosC≠0，

兩邊同時除以cosBcosC，

得tanB+tanC=2tanBtanC，

由于tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，

得

tanAtanBtanC=－tan（B+C）+tanB+tanC=tanB+tanCtanBtanC－1+tanB+tanC=

2tanBtanCtanBtanC－1+2tanBtanC=

4+2tanBtanC－1+2（tanBtanC－1），

由銳角三角形可知tanBtanC－1恒大于0，否則tanAtanBtanClt;0，

原式=4+2tanBtanC－1+2（tanBtanC－1）≥4+22tanBtanC－1·2（tanBtanC－1）=8.

方法2" 因為sinA=sin（B+C），

sinA=2sinBsinC，

所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，

由于cosBcosC≠0，兩邊同時除以cosBcosC，

得tanB+tanC=2tanBtanC，

tanAtanBtanC=tanA+（tanB+tanC）≥2tanA·（tanB+tanC）=22tanAtanBtanC，

即tanAtanBtanC≥22，

tanAtanBtanC≥8.

例2" 在銳角△ABC中，2sin2A+sin2B=2sin2C，則1tanA+1tanB+1tanC的最小值為""" .

剖析" 思路1可以從正切的定義出發，構造直角三角形，轉化為邊的關系，再利用基本不等式求出最值；思路2可以借助余弦定理齊次式化簡找出tanA，tanB，tanC之間的關系，消元后利用不等式求出最值；思路3考慮用坐標系求出軌跡，找出變量間的關系，利用基本不等式求出最值.

圖1

解析" 方法1" 因為2sin2A+sin2B=2sin2C，

由正弦定理得2a2+b2=2c2，

如圖1，過點B作BD垂直于AC于點D，設BD=h，AD=m，CD=n，

則 a2=n2+h2 ，b2=（m+n）2=m2+2mn+n2，c2=m2+h2，

2（n2+h2）+m2+2mn+n2=2（m2+h2），

化簡得m2－2mn－3n2=0，從而m=3n，

因為tanA=hm=h3n，tanB=mh+nh1－mh·nh=（m+n）hh2－mn=4nhh2－3n2， tanC=hn，

所以1tanA+1tanB+1tanC=3nh+h2－3n24nh+nh=

h4n+13n4h≥2h4n·13n4h=132，

當且僅當h4n=13n4h即h=13n時，1tanA+1tanB+1tanC取得最小值，為132.

方法2" 因為2sin2A+sin2B=2sin2C，

由正弦定理得2a2+b2=2c2，

b2=2c2－2a2=2（c2+b2－a2）－2b2，

所以2（b2+c2－a2）=3b2，

由余弦定理得4bccosA=3b2，

進而得到4ccosA=3b，由正弦定理得4sinCcosA=3sinB，

4sinCcosA=3sinB=3sin（A+C）=3sinAcosC+3cosAsinC，

化簡得sinCcosA=3sinAcosC，

由cosA≠0，cosC≠0得tanC=3tanA，

tanB=－tan（A+C）=－tanA+tanC1－tanAtanC=－4tanA1－3tan2A=4tanA3tan2A－1，

1tanA+1tanB+1tanC=1tanA+3tan2A－14tanA+13tanA=3tanA4+1312tanA，

因為銳角三角形中0lt;Alt;π2，

所以1tanA+1tanB+1tanC≥23tanA4.1312tanA=132，

當且僅當3tanA4=1312tanA，即tanA=133時，1tanA+1tanB+1tanC取得最小值，為132.

方法3" 因為2sin2A+sin2B=2sin2C，

由正弦定理得2a2+b2=2c2，

不妨設b=2，則c2－a2=2，

如圖2，以AC為x軸，AC的中垂線為y軸建立直角坐標系.

設B的坐標為（x，y），三角形AC邊上的高為m，

則（x+1）2+y2－［（x－1）2+y2］=2，得到點B的軌跡為x=12，

圖2

tanA=m32=2m3，tanB=32m+12m1－32m·12m=8m4m2－3，tanC=m12=2m，

1tanA+1tanB+1tanC=32m+4m2－38m+12m=138m+m2≥2138m·m2=132，

當且僅當138m=m2，即m=132時，1tanA+1tanB+

1tanC取得最小值，為132.

結語

建系思想實際上是軌跡問題.探究動點變化的軌跡，利用解析幾何知識解決問題，體現了化歸思想在解決問題中的重要性.三角形正切問題處理手段多樣，常見策略是弦切互化利用公式轉化、構建直角三角形用定義解題、建系利用軌跡思想，合理選擇方法找準靶心，正切問題便可迎刃而解.