高中數學數列新定義問題的解題技巧

【摘要】“三新”背景下的高考數學試題注重考查學生創新思維，新定義類問題自然會成為考查的重點．本文以數列新定義問題為載體，通過實例探討這類問題的解題技巧，為學生的備考提供幫助．

【關鍵詞】高中數學；數列；解題技巧

高中數學數列是高考的常考內容，而新定義問題作為一種新的題型，對于學生來說既具有挑戰性又具有重要性．新定義問題的出現往往伴隨著新的概念、新的規律和新的解題方法，需要學生具備扎實的基礎知識和靈活的解題技巧．數列新定義問題在原有數列基本規律的基礎上，增加了一些新的約束條件或運算規則，使得數列問題變得更加復雜和多樣化．因此，掌握高中數學數列新定義問題的解題技巧對于提高學生的數學成績具有重要意義．

1" 數列新定義問題的解題技巧

數列新定義問題，通常是給出一個與數列有關的新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型，來創設全新的問題情境，要求學生在閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯系所學的數列知識和處理數列問題的方法，實現信息的遷移，達到靈活解題的目的．遇到這類數列新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決．

2" 運用遞推法求解數列新定義問題

例1" 給定數列an，稱{an－an－1}為an的差數列（或一階差數列），稱數列{an－an－1}的差數列為數列an的二階差數列……

（1）求2n的二階差數列；

（2）用含m的式子表示2n的m階差數列，并求其前n項和．

解析" （1）由差數列的定義，得數列2n的一階差數列為{2n－2n－1}={2n－1}，

數列2n的二階差數列為2n－1的一階差數列，即{2n－1－2n－2}={2n－2}，

故數列2n的二階差數列為2n－2．

（2）通過找規律得，2n的m階差數列為2n－m，

下面運用數學歸納法進行證明：

①當m=1時，顯然成立；

m=2時，由（1）得結論也成立．

②假設該結論對m=k（k≥3）時成立，嘗試證明其對m=k+1時也成立．

由差數列的定義可得，2n的k+1階差數列即2n的k階差數列的一階差數列，

即{2n－k－2n－k－1}={2n－k－1}={2n－（k+1）}.

故該結論對m=k+1時也成立，證畢．

故2n的m階差數列為2n－m．

該數列是以21－m為首項，2為公比的等比數列，

其前n項和為Sn=a1（1－qn）1－q=21－m（1－2n）1－2=2n+1－m－21－m.

故2n的m階差數列為2n－m，其前n項和為Sn=2n+1－m－21－m.

評析" 本題屬于數列新定義問題，綜合了已學過的等差數列和等比數列的知識和計算方法．第（1）問中，可以根據差數列的定義，運用遞推法依次求出數列2n的一階差數列和二階差數列；第（2）問中運用了第（1）問的方法和規律，猜想2n的m階差數列為2n－m，接著運用數學歸納法進行證明，再根據等比數列的前n項和公式求解即得．

3" 運用等差數列和等比數列的求解方法處理數列新定義問題

例2" 在正項無窮數列an中，若對任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得anan+2m=an+m2，則稱an為m階等比數列．在無窮數列bn中，若對任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得bn+bn+2m=2bn+m，則稱bn為m階等差數列．

（1）若an為1階等比數列，a1+a2+a3=74，a3+a4+a5=716，求an的通項公式及前n項和；

（2）若an為m階等比數列，求證：lnan為m階等差數列；

（3）若an既是4階等比數列，又是5階等比數列，證明：an是等比數列．

解析" （1）因為an為1階等比數列，

所以an為正項等比數列，

設公比為q，則q為正數，

由已知得a11+q+q2=74，a1q21+q+q2=716，

兩式相除得q2=14，

所以q=12（q=－12舍去），

所以a1=1，

所以an的通項公式為an=a1qn－1=12n－1，

前n項和為Sn=a1－anq1－q=1－12n1－12=2－12n－1．

（2）因為an為m階等比數列，

所以n∈N*，m∈N*，使得anan+2m=an+m2成立，

所以ln（anan+2m）=lnan+m2，

又angt;0，an+mgt;0，an+2mgt;0，

所以lnan+lnan+2m=2lnan+m，

即n∈N*，m∈N*，lnan+lnan+2m=2lnan+m成立，

所以lnan為m階等差數列．

（3）因為an既是4階等比數列，又是5階等比數列，

所以anan+8=an+42n∈N*與anan+10=an+52n∈N*同時成立，

所以an+4an=an+8an+4n∈N*與an+5an=an+10an+5n∈N*同時成立，

又an的各項均為正數，所以對任意的n∈N*，

數列an，an+4，an+8，…n∈N*和數列an，an+5，an+10，…n∈N*都是等比數列，

由數列an，an+4，an+8，…n∈N*是等比數列，

得an+1，an+5，an+9，…n∈N*也成等比數列，

設an+5an=q1gt;0n∈N*，

an+5an+1=q2gt;0n∈N*，

所以an+1an=q1q2gt;0n∈N*，

所以an是等比數列．

評析" 本題運用了處理等差數列和等比數列問題的方法來處理數列新定義問題．在第（1）問中，根據題意可得an為正項等比數列，求出首項與公比，再根據等比數列的前n項和公式即可得解；在第（2）問中，由an為m階等比數列，可得n∈N*，m∈N*，使得anan+2m=an+m2成立，再根據m階等差數列即可得出結論；在第（3）問中，根據an既是4階等比數列又是5階等比數列，可得anan+8=an+42n∈N*與anan+10=an+52n∈N*同時成立，再結合等比數列的定義即可得出結論．

4" 結語

“三新”背景下，高考試題的創新讓學生摸不著頭緒，數列新定義問題就是一類具有一定挑戰性的問題，但只要“照章辦事”，嚴格按照“新定義”的要求，掌握正確的解題技巧，就能輕松應對．在解題過程中，要仔細閱讀新定義，找出其中的規律，并靈活運用適當的數學方法進行求解．同時，對于一些特殊情況，還需要采用特殊的方法進行處理．通過不斷練習和積累經驗，能夠更好地掌握數列新定義問題的解題技巧，提高解題能力．

參考文獻：

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