數列新定義類問題的解題策略

【摘要】本文通過對數列新定義類問題的分析，提出一些有效的解題策略，旨在幫助學生更好地理解和解決這類問題．

【關鍵詞】高中數學；數列；解題策略

數列新定義類問題逐漸成為高考和競賽中的熱點題型．這類問題通常以全新的數列定義為基礎，考查學生的理解能力和解題技巧．因此，掌握一套有效的解題策略對于解決這類問題至關重要．

1" 不等式與新定義數列的綜合問題

例1" 已知各項均不為0的遞增數列an的前n項和為Sn，且a1=2，a2=4，anan+1=2SnSn+1+Sn－1－2Sn（n∈N*，且n≥2）．

（1）求數列1Sn的前n項和Tn；

（2）定義首項為2且公比大于1的等比數列為“G-數列”．證明：

①對任意k≤5且k∈N*，存在“G-數列”bn，使得bk≤ak≤bk+1成立；

②當k≥6且k∈N*時，不存在“G-數列”cn，使得cm≤am≤cm+1對任意正整數m≤k成立．

（1）解" anan+1=2Sn（Sn+1+Sn－1－2Sn）=2Sn（an+1－an）（n≥2），

因為an各項均不為0且遞增，

所以an+1－an≠0，

所以2Sn=anan+1an+1－an，

所以2Sn－1=an－1anan－an－1n≥3，

所以2an=anan+1an+1－an－an－1anan－an－1，

化簡得anan+1+an－1－2an=0n≥3，

所以an+1+an－1=2ann≥3，

因為a1=2，a2=4，

所以a2a3=2S2S3+S1－2S2，

所以a3=6，

所以a1+a3=2a2，

所以an為等差數列，

所以an=2n，Sn=n2+n，

所以1Sn=1nn+1=1n－1n+1，

所以Tn=1－12+12－13+…+1n－1n+1=nn+1．

（2）①證明" 設“G-數列”的公比為q，且qgt;1，

由題意，只需證存在q對k≤5且k∈N*，

2qk－1≤2k≤2qk成立，

即k－1lnq≤lnk≤klnq成立，

設fx=lnxx，

則f′x=1－lnxx2，

令f′x=0，

解得x=e，

當x∈0，e時，f′xgt;0，fx單調遞增，

當x∈e，+∞時，f′xlt;0，fx單調遞減，

因為ln22lt;ln33，

所以fk=lnkk≤ln33，

所以存在q=33，使得lnk≤klnq對任意k≤5且k∈N*成立，

經檢驗，對任意k≤5且k∈N*，（33）k－1≤k均成立，

所以對任意k≤5且k∈N*，存在“G-數列”bn使得bk≤ak≤bk+1成立；

②由①知，若cm≤am≤cm+1成立，

則qm－1≤m≤qm成立，

當k≥6時，取m=3得q2≤3≤q3，

取m=6得q5≤6≤q6，

由q3≥3q5≤6，得q15≥243q15≤216，

所以q不存在，

所以當k≥6且k∈N*時，不存在“G-數列”cn使得cm≤am≤cm+1對任意正整數m≤k成立．

點評" 本題第（1）問中，根據Sn和an的關系，結合等差數列的定義和通項公式、裂項相消法進行求解即可，屬于常規數列問題；第（2）問中，新定義了“G-數列”，給本題的解答帶來了難度，但可根據不等式的形式，構造函數，利用導數的性質進行求解．

2" 函數中的新定義數列的綜合問題

例2" 若n∈N*，都存在唯一的實數cn，使得fcn=n，則稱函數fx存在“源數列”cn.已知fx=x－lnx，x∈0，1．

（1）證明：fx存在源數列；

（2）①若fx－λx≤0恒成立，求λ的取值范圍；

②記fx的源數列為cn，證明：cn的前n項和Snlt;53．

解析" （1）由fx=x－lnx，x∈0，1，

得f′x=12x－1x=x－22xlt;0，

即fx在0，1上單調遞減，又f1=1，

當xgt;0且x無限趨近于0時，fx趨向于正無窮大，

即fx的值域為［1，+∞），且函數在0，1上單調遞減，

對于fx可以取到任意正整數，且在x∈0，1上都存在唯一自變量與之對應，

故對于n∈N*，令fx=n，其在0，1上的解必存在且唯一，不妨設解為cn，

即對于n∈N*，都存在唯一的實數cn∈（0，1］，使得fcn=n，

即fx存在源數列；

（2）①fx－λx≤0恒成立，即λ≥x－xlnx恒成立，

令t=x∈0，1，即λ≥t2－2tlnt恒成立，

令φt=t2－2tlnt，

則φ′（t）=2t－2lnt－2，

令g（t）=φ′（t）=2t－2lnt－2，t∈0，1，

則g′t=2－2t≤0，僅在t=1時取等號，

即g（t）在0，1上單調遞減，故g（t）≥g（1）=0，即φ（t）在0，1上單調遞增，

故φ（t）max=φ（1）=1，故λ≥1；

②由①得fx≤1x，

故fcn≤1cn，即n≤1cn，

故cn≤1n2lt;1n2－14=22n－1－22n+1，

當n=1時，S1≤112=1lt;53，

當n≥2時，Sn≤1+23－25+25－27+…+22n－1－22n+1=53－22n+1lt;53，

即cn的前n項和Snlt;53．

點評" 本題屬于數列的新定義、數列不等式恒成立以及證明不等式的綜合問題，解答的關鍵在于證明不等式時，得到n≤1cn后，即可推出cn≤1n2，此時要用放縮法得到cn≤1n2lt;1n2－14，從而再用裂項法求和，證明不等式．

3" 結語

通過以上分析，可以看到，解決數列新定義問題，需要仔細分析題意，將數列新定義類問題轉化為已知數列的求通項問題，并運用適當的解題技巧，結合不等式或導數等數學知識進行求解．掌握這些策略和方法對于解決這類問題具有重要意義．