例談導數在處理函數問題中的作用

【摘要】導數作為數學的一個重要概念，在處理函數問題中發揮著關鍵的作用．本文通過具體的例子，深入探討導數在處理函數單調性、最值、方程根和新定義數列等問題中的作用，希望對讀者提供有益的參考．

【關鍵詞】高中數學；導數；函數

在高中數學中，函數問題一直是核心研究內容之一.函數就像一座神秘的城堡，內部蘊含著無數的奧秘和寶藏，而導數則是打開這座城堡大門的一把神奇鑰匙.隨著數學的不斷發展，導數在處理函數問題方面展現出了卓越的能力，為學生理解和解決函數相關的難題提供了全新的視角和強大的工具.無論是函數的單調性、極值與最值問題，還是函數圖象的切線問題等，導數都如同一位無聲的導師，引導學生撥開迷霧，找到問題的核心解法.本文通過具體例題來探討導數在函數問題處理中的作用，不僅能加深學生對導數概念和性質的理解，更能讓學生熟練掌握運用導數解決函數問題的技巧，進一步領略數學的魅力與價值.

1" 用導數研究方程根的問題

例1" 已知fx≥0，且xgt;0時，f2x=cos2x·fx，若fπ2=4π2，若gx=x2fxsin2x是常函數，證明：方程fx=1在區間（0，1）內無實數根.

證明" fπ2=4π2=12fπ4，

則fπ4=8π2lt;1，gx=x2fxsin2x，

則g2x=4x2·cos2xfx4sin2xcos2x=gx，

gπ2=π2fπ24=1，

則gπ4=gπ8=…=gπ2n=1，

可得gx=1，

則fx=sin2xx2，

令hx=x－sinx，

則h′x=1－cosx≥0恒成立，即函數hx在0，+∞上單調遞增，

所以hx≥h0=0，

所以x≥sinxx≥0，

所以sin2xx2lt;1，即fx=sin2xx2=1在區間（0，1）內無實根．

評析" 由題意結合三角函數的二倍角公式，整理函數的等量關系，利用函數和導數的方法證明不等式恒成立，可得答案.

2" 用導數求解曲線的斜率和判斷函數的單調性等

例2" ①曲線y＝f（x）在點12，f12處的切線與y軸垂直，②f（x）的導數y=f′（x）的最小值為-34，③函數f（x）在區間－12，12上是減函數，在區間－∞，－12，12，+∞上是增函數.在這三個條件中任選一個補充在橫線上，并回答下面問題.

已知函數f（x）＝x3+ax+b，且滿足.

（1）求a的值；

（2）若函數y＝f（x）在區間［-1，2］上的最大值與最小值的和為7，求b的值.

解析" 選條件①：（1）f′（x）=3x2+a，

所以切線斜率為f′12=34+a，

因為曲線y=fx在點12，f12處的切線與y軸垂直，

所以切線斜率為0，

即34+a=0，解得a=－34．

（2）f（x）=x3－34x+b，則f′（x）=3x2－34，

所以在12，2上，f′（x）gt;0，fx單調遞增，

在－12，12上，f′（x）lt;0，fx單調遞減，

在－1，－12上，f′（x）gt;0，fx單調遞增，

f12=123－34×12+b=－14+b，

f－12=－123+34×12+b=14+b，

f（－1）=－1－34×（－1）+b=－14+b，

f（2）=23－34×2+b=132+b，

所以f（x）max=132+b，f（x）min=－14+b，

因為函數y=fx在區間［－1，2］上的最大值與最小值的和為7，

則132+b+－14+b=254+2b=7，

解得b=38.

選條件②：

（1）f′（x）=3x2+a，

所以f′x的最小值為a，

因為fx的導數y=f′x的最小值為－34，

所以a=－34，

（2）同①.選條件③：

（1）f′（x）=3x2+a，

因為函數fx在區間－12，12上是減函數，在區間－∞，－12，12，+∞上是增函數，

所以－12，12是3x2+a=0的根，

所以－12×12=a3，

解得a=－34，

（2）同①.

評析" 本題條件需學生自主選擇，全面考查了導數在求解曲線斜率、判斷函數單調性和求解函數最值中的作用．選條件①，求出函數導數，由已知得k切=f′12=0，即可求出a；選條件②：可得f′x最小值為a，即可求出．

3" 利用導數研究數列新定義問題

例3" 超越數得名于歐拉，它的存在是法國數學家劉維爾（Joseph" Liouville）最早證明的．一個超越數不是任何一個如下形式的整系數多項式方程的根：anxn+an－1xn－1+…+a1x+a0=0（a0，a1，…，an∈Z，an≠0）．數學家證明了自然對數的底數e與圓周率π是超越數．回答下列問題：

已知函數fnx=ex－bnxn（n∈N*）只有一個正零點．

（1）求數列bn的通項公式；

（2）（ⅰ）構造整系數方程anxn+a0=0，證明：若m∈N，則em為有理數當且僅當m=0．

（ⅱ）數列bn中是否存在不同的三項構成等比數列？若存在，求出這三項的值；否則說明理由．

解析" （1）若fnx=ex－bnxn只有一個正零點，可得ex=bnxn，bnxne－x=1，

令g（x）=xne－x，

g′（x）=nxn－1e－x－xne－x=xn－1e－xn－x，

令g′（x）lt;0，x∈（n，+∞），

令g′（x）gt;0，x∈（0，n），

故g（x）在（0，n）上單調遞增，在（n，+∞）上單調遞減，

可得g（x）在x=n處取得最大值，且最大值為g（n）=xne－n，

而當x→0時，g（x）→0，

當x→+∞時，g（x）→0，

由題意得，當g（x）最大時，符合題意，

故bnnne－n=1，即bn=en·n－n．

（2）（ⅰ）若m=0，則em=1為有理數；

若m正整數，假設em為有理數，

則em=pq=y，p，q∈Z，q≠0，

則方程q·y－p=0的根中有有理數，

又在方程q·xm－p=0中，發現x=e是它的根，

而已知e是超越數，故e不是方程的根，與q·y－p=0矛盾，即em不為有理數；

綜上所述：m∈N，em為有理數當且僅當m=0．

（ⅱ）若數列bn中存在不同的三項構成等比數列，

則em·m－m·en·n－n=el·l－l2，

可得em+n－2l=mm·nn·l－2l，由方程右邊是有理數知左邊也是有理數，

由上問知當且僅當m+n=2l時成立，

故mm·nn=l2l=lm·ln，

則（ml）m·（nl）n=1，設1－ml=x，

則m=l（1－x），n=l（1+x），

則1－xm·1+xn=1，將m=l（1－x），n=l（1+x）代入進行化簡，

可得1－xl（1－x）·1+xl+x=1，

故1－x1－x·1+x1+xl=1，

故1－x1－x·1+x1+x=1，

構造函數fx=（1－x）ln（1－x）+（1+x）ln1+x，

而f′x=ln1－x2lt;0，知fx在其定義域內單調遞減，

又f0=0，

故若1－x1－x·1+x1+x=1，

則有x=0，即mm·nn=l2l成立，

當且僅當m=n=l時成立．

即數列bn中不存在不同的三項構成等比數列．

評析" 本題考查利用導數研究數列新定義問題．第（1）問中，利用函數性質fnx=ex－bnxn只有一個正零點，結合導數得出g（x）在x=n取最大值，進而得出bn=en·n－n，結合給定新定義進行求解即可．

4" 教學建議

4.1" 強化概念理解

在教學中，要通過實際生活案例，如物體運動的瞬時速度等，幫助學生直觀理解導數概念．引導學生從割線斜率過渡到切線斜率，深入剖析導數的本

質是函數的變化率，讓學生明白導數如何反映函數的局部性質，為后續利用導數處理函數問題筑牢根基．

4.2" 注重方法總結

系統梳理用導數求函數單調性、極值、最值的方法步驟．通過典型例題，詳細演示如何求導函數，如何根據導函數的正負確定函數單調性，進而找到

極值點和最值點．鼓勵學生總結不同類型函數求導的技巧，以及在分析導函數時常見的思路和方法，提升學生運用導數解題的能力．

4.3" 加強綜合應用

設計綜合性的函數問題，涵蓋函數的性質、方程、不等式等知識，讓學生體會導數在解決復雜問題中的橋梁作用．引導學生通過構造函數，利用導數證

明不等式，或通過研究函數的單調性和極值來求解方程的根的分布問題，培養學生的數學綜合素養和創新思維．

5" 結語

綜上所述，導數在處理函數問題中發揮著舉足輕重的作用.通過本文所列舉的多個實例，可以清晰地看到了導數是如何巧妙地解決函數單調性判斷、極值和最值求解以及切線相關問題的.它就像一盞明燈，照亮了函數這座神秘城堡的各個角落，讓原本復雜晦澀的函數問題變得有章可循.導數的引入為函數問題的研究注入了新的活力，拓展了學生解決問題的思路和方法.然而，這只是導數應用的冰山一角，在更廣泛的數學領域和實際應用中，導數還有著無盡的潛力等待老師和學生去挖掘.學生要深入理解導數的本質，熟練掌握其在函數問題處理中的技巧，以便更好地探索數學的奧秘，解決更多實際生活中與函數相關的問題.

參考文獻：

［1］陳虹.函數因導數而精彩——運用導數解決復合函數問題研究［J］.中學教學參考，2023（08）：29-31.

［2］于鵬.巧用導數知識，妙解函數問題［J］.語數外學習（高中版上旬），2023（11）：38-39.