巧用向量法解立體幾何空間角問題

【摘要】向量法是解答立體幾何空間角問題的一種有效方法，該方法不僅簡(jiǎn)化了解題的過程，而且能夠提高問題的求解效率和準(zhǔn)確性.掌握向量法對(duì)于解決立體幾何空間角問題至關(guān)重要.本文對(duì)利用向量法解立體幾何空間角問題進(jìn)行研究，歸納提煉其解題方法，并以一道立體幾何的綜合問題為例進(jìn)行詳細(xì)分析，以期望幫助學(xué)生對(duì)立體幾何知識(shí)掌握得更透徹，以及對(duì)考題的解答更快速.

【關(guān)鍵詞】向量法；空間角；高中數(shù)學(xué)

1" 考法分析

立體幾何空間角問題是高考數(shù)學(xué)的?？紗栴}，計(jì)算復(fù)雜，難度較大.解答立體幾何空間角問題不僅要求考生“能算”，還要求考生“會(huì)算”，即在運(yùn)算中講究一定的策略與技巧.如對(duì)于異面直線所成的角，高考中常以下列兩種方式出題：①=1＼*GB3＼*MERGEFORMAT直接求異面直線所成的角的大??；②=2＼*GB3＼*MERGEFORMAT求異面直線所成的角的三角函數(shù)值（正弦值、余弦值、正切值等）.對(duì)于二面角問題，考查模式也大致有以下兩種方式：①=1＼*GB3＼*MERGEFORMAT直接求二面角的大?。ɑ蚱湔抑?、余弦值、正切值）；②=2＼*GB3＼*MERGEFORMAT已知二面角的大小，求相關(guān)的量或參數(shù)值（如體積、長(zhǎng)度、直線與平面所成的角等）.

2" 方法提煉

向量法是解答立體幾何問題的重要方法.通過將空間中的點(diǎn)、線段、平面進(jìn)行向量化，然后利用向量的運(yùn)算和性質(zhì)求解空間中的距離、角度、平行關(guān)系等問題，解題過程中無需作輔助線，只需通過計(jì)算便可解得答案，在解答一些復(fù)雜問題時(shí)可以化繁為簡(jiǎn)，輕松作答.下面對(duì)向量法進(jìn)行詳細(xì)介紹.

（1）利用向量法求異面直線所成的角時(shí)，往往通過兩條直線的方向向量的夾角來求解，而兩條異面直線所成角θ的范圍是0，π2，兩向量的夾角α的范圍是0，π，所以要注意兩者的區(qū)別與聯(lián)系，應(yīng)有cosθ=cosα.

（2）利用向量法求線面之間的夾角時(shí)，需要借用平面的法向量進(jìn)行解答.首先求出平面的法向量與斜線的方向向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，然后取其余角就是斜線和平面所成的角.具體計(jì)算過程如圖1所示，直線l與平面α相交于點(diǎn)A，l∩α=A，設(shè)向量n、a分別為平面α的法向量和直線l的方向向量，φ為直線l與平面α之間的夾角，則sinφ=cos〈a，n〉=a·nan.

圖1

（3）利用空間向量求二面角時(shí)，同樣需要借用平面的法向量來進(jìn)行求解.設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為n1和n2，則二面角的大小等于〈n1，n2〉（或π－〈n1，n2〉），在求解過程中應(yīng)注意結(jié)合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角.具體計(jì)算過程為：若AB、CD分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角（或其補(bǔ)角）的大小就是向量AB與CD的夾角，如圖2（①=1＼*GB3＼*MERGEFORMAT）所示.平面α與β相交于直線l，平面α的法向量為n1，平面β的法向量為n2，〈n1，n2〉=θ，則二面角的大小為θ或π－θ.設(shè)二面角的大小為φ，則cosφ=cosθ=n1·n2n1n2，如圖2（②）、2（③=3＼*GB3＼*MERGEFORMAT）所示.

圖2

3" 實(shí)例講解

例" （2022天津高考）如圖3所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1與平面ABC垂直，AC與BC垂直，點(diǎn)D、E分別在棱AA1和棱CC1上，已知AC和BC的長(zhǎng)為2，CC1的長(zhǎng)為3，AD的長(zhǎng)為1，CE的長(zhǎng)為2，M為棱A1B1的中點(diǎn).

（1）求證異面直線C1M和B1D垂直；

（2）求二面角B－B1E－D的正弦值；

（3）求直線AB與平面DB1E所成角的正弦值.

圖3

解" 如圖4所示，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，可得C0，0，0，A2，0，0，B0，2，0，C10，0，3，A12，0，3，B10，2，3，D2，0，1，E0，0，2，M1，1，3

（1）依題意有C1M=1，1，0，

B1D=2，－2，－2，

從而C1M·B1D=2－2+0=0，

所以證得C1M⊥B1D.

（2）依題意，CA=2，0，0是平面BB1E的一個(gè)法向量，

EB1=0，2，1，ED=2，0，－1，

設(shè)n=x，y，z為平面DB1E的一個(gè)法向量，

則n·EB1=0，n·ED=0，

即2y+z=0，2x－z=0，

不妨設(shè)x=1，

可得n=1，－1，2，

因此有cos〈CA，n〉=CA·nCAn=66，

于是sin〈CA，n〉=306，

即二面角B－B1E－D的正弦值為306.

（3）依題意，AB=－2，2，0，

由（2）知n=1，－1，2為平面DB1E的一個(gè)法向量，

于是cos〈AB，n〉=AB·nABn=－33，

所以直線AB與平面DB1E夾角的正弦值為33.

圖4

4" 結(jié)語

向量法求空間角的解題過程可總結(jié)如下：首先識(shí)別圖象，分析幾何體，找出確定幾何體底面和高的條件，根據(jù)所學(xué)知識(shí)，理清圖形中的數(shù)量關(guān)系；然后建系設(shè)點(diǎn)，尋找題目中有三條直線兩兩垂直的特征，建立空間直角坐標(biāo)系，從而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；然后求向量坐標(biāo)，用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而寫出所需要的向量坐標(biāo)；最后利用證明兩個(gè)非零向量垂直的充要條件和向量夾角的余弦公式進(jìn)行證明或計(jì)算.

參考文獻(xiàn)：

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