淺談一道橢圓離心率問題的幾種思路

【摘要】橢圓離心率問題是解析幾何問題中的經(jīng)典問題，經(jīng)常以填空題和選擇題的形式考查.在解答此類問題時，選擇合適的解題思路往往能達到既快又準(zhǔn)的效果，為后續(xù)的解題打下堅實的基礎(chǔ).本文重點研究一道典型例題的解題思路，以作參考.

【關(guān)鍵詞】橢圓；離心率；高中數(shù)學(xué)

例題" 設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，若橢圓上存在一點P，使PF1⊥PF2，則橢圓離心率的取值范圍為.

問題分析" 分析題目已知條件，本題給出了橢圓的焦點，以及橢圓上的點滿足的幾何條件，同時問題所求量為離心率的取值范圍，自然聯(lián)想到從離心率公式出發(fā)，結(jié)合焦點的幾何性質(zhì)，即可得到離心率的表達式，之后再利用基本不等式或者是導(dǎo)數(shù)即可得到最大值和最小值，從而求得取值范圍.

思路1" 將離心率公式e=ca簡單變形，利用三角形和三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得.

解" 設(shè)∠PF1F2=β0lt;βlt;π2，

則離心率e=ca=2c2a=|F1F2||PF1|+|PF2|.

而|F1F2||PF1|+|PF2|

=|F1F2||F1F2|·cosβ+|F1F2|·sinβ

=1cosβ+sinβ=12sinβ+π4，

因為β+π4∈π4，3π4，

由此可以求得22≤elt;1.

思路2" 因為點P在橢圓上，所以點P的坐標(biāo)滿足橢圓方程.當(dāng)PF1⊥PF2時，PF1·PF2=0成立，可以求出點P橫坐標(biāo)的范圍.之后根據(jù)橢圓的定義，可以得到參數(shù)a，c之間的關(guān)系等式，由此求得離心率的范圍.

解nbsp; 設(shè)點P（x0，y0），

將點P代入橢圓方程可得x02a2+y02b2=1①.

因為PF1⊥PF2，

所以PF1·PF2=0，

則（－c－x0）（c－x0）+y02=0②.

由①②并結(jié)合a2－b2=c2，

所以x02=a2（c2－b2）c2.

又因為0≤x02≤a2，

解得c2≥a2－c2，

而e2=c2a2≥12，

在橢圓中0lt;elt;1，

綜上可得22≤elt;1.

思路3" 從橢圓的焦點三角形的角入手，借助“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想.

解" 設(shè)橢圓的上頂點為A，

sin∠OAF2=ca=e.

因為PF1⊥PF2，

所以∠F1PF2=90°，

則90°≤∠F1PF2lt;180°.

而∠OAF2=∠F1AF22，

即45°≤∠OAF2lt;90°，

則sin45°≤elt;sin90°.

由此可得22≤elt;1.

思路4" 首先表示出|PF1|，|PF2|的長度，再利用橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a，并結(jié)合勾股定理、平方平均數(shù)大于等于算數(shù)平均數(shù)的關(guān)系，即可求得離心率的取值范圍.

解" 設(shè)|PF1|=k，|PF2|=l，

因為PF1⊥PF2，

所以點P不會與橢圓的左右頂點重合，

則k，l∈（a－c，a+c）.

由橢圓的定義可得k+l=2a①，

由勾股定理可得k2+l2=（2c）2②.

由于平方平均數(shù)大于等于算數(shù)平均數(shù)，即k2+l22≥k+l2，當(dāng)且僅當(dāng)k=l時取等號.

將①②代入可得2c≥a，

即e=ca≥22.

又因為0lt;elt;1，

綜上所述可得22≤elt;1.

思路5 "轉(zhuǎn)化為求圓（以F1F2為直徑的圓）與橢圓的交點問題.

解" 由題意可得PF1⊥PF2，說明點P在以F1F2為直徑的圓上.

當(dāng)c=b時，圓與橢圓有兩個交點，即橢圓的上下兩個頂點.

如圖1所示，當(dāng)cgt;b時，圓與橢圓有四個交點；

如圖2所示，當(dāng)clt;b時，圓與橢圓無交點，不滿足條件.

所以當(dāng)c≥b時，有c2≥b2=a2－c2，

則2c2≥a2，

解得22≤elt;1.

圖1

圖2

結(jié)語

由上述五種思路可以發(fā)現(xiàn)，解答橢圓離心率問題需要綜合利用代數(shù)和幾何方法.代數(shù)用來進行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，幾何可以將條件更加直觀化，方便理解.同時，還要能夠聯(lián)想到橢圓的定義，從基礎(chǔ)出發(fā)對橢圓進行合理轉(zhuǎn)化，從而得到關(guān)于離心率的基本量的關(guān)系.