一解多題

【摘要】最值問題一直是高考的熱點問題，近幾年多元變量的問題也屢見不鮮.本文通過對最值常見解法的探究，對比分析各種解法的適用模型及其優勢、劣勢，意在從多角度解決不同背景下的最值問題，探究方法的普適性，力爭做到一題多解，抓住不同題、不同解法的本質聯系.

【關鍵詞】一題多解；高中數學；最值

1" 引言

解題是中學數學教與學中不可或缺的部分，解題能力的提升對于教師和學生而言都非常重要.羅增儒教授在其論文《數學解題的水平劃分》中把解題做了四個水平的劃分.如何有效地提升解題水平，更好地從解題中“提煉數學核心素養，獲得態度、情感的熏陶，形成正確價值觀念、必備品格和關鍵能力”，是當前重要的研究方向.

最值問題是高中數學的重要內容，是高考的熱點問題，其考查背景多變，難度跨度大，處理方法多，也是考驗解題能力的重要方式.本文通過對一道高考真題的解法分析，嘗試探究最值問題的常見解法及其適用模型.

在人教A版（2019）高中數學必修第一冊第三章第二節3.2.1小節中對最值的定義如下：一般地，設函數y=f（x）的定義域為I，如果存在實數M滿足：（1）x∈I，都有f（x）≤M；（2）x0∈I，使得f（x0）=M.那么，稱M是函數y=f（x）的最大值.在《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中對最值部分的要求為理解其作用和實際意義.縱觀高中數學內容，最值問題并非只是在函數部分出現，在立體幾何、解析幾何、平面向量、三角函數、數列、不等式、概率等內容中都能看到最值的影子.我們發現在任何一個背景下，都可以考查最值，且在近幾年高考中，最值問題也是屢見不鮮.

2" 方法探究

最值問題的求解方法除了較為常用的構造函數法，也可以用其他知識求解.下面就以2020年江蘇卷第12題為例，一起探究最值問題的幾種常見解法，并分析各自的優劣和適用條件.

例題" （2020年江蘇卷第12題）已知5x2y2+y4=1（x，y∈R），則x2+y2的最小值是.

解法1" 構造函數法

分析" 已知含雙變量x，y的等式，可利用等式減少變量個數，把雙變量甚至多變量的問題轉換成單變量的函數，再借助函數的單調性、圖象等，或者借助導數在函數中的應用求解最值，在此就不一一贅述.

因為y2≠0，

所以x2=1－y45y2（0lt;y2≤1），

x2+y2=1－y45y2+y2=15y2+45y2，

令y2=t（0lt;t≤1），

構造函數f（t）=15t+45t，

利用雙勾函數的圖象和性質可得當t=12時，f（t）min=45，

故x2+y2最小值為45.

點評" 該方法較為常見，重點是如何減少變量個數.

解法2" 經典不等式法

分析" 高中階段會涉及均值不等式、柯西不等式等經典不等式的學習.這些經典不等式可以幫助學生在證明題中對式子進行放縮，也可以幫助學生求最值.高中階段學習的這些經典不等式，主要是刻畫多變量的和、積、平方和之間的關系.

由已知可得5x2y2+y4=y2（5x2+y2）=1，

x2+y2=x2+y25+45y2=15（5x2+y2）+45y2，

由均值不等式可知15（5x2+y2）+45y2≥215（5x2+y2）·45y2=45，

當且僅當15（5x2+y2）=45y2，

即x2=310，y2=12時等號成立，

故x2+y2最小值為45.

點評" 運用該方法在求兩變量和的最值問題時，要注意保證這兩個變量之積為定值.

解法3" 三角換元法

分析" 借助于三角函數的恒等變換公式和三角函數的圖象和性質，可以有效地求解多變量的最值問題.此方法中“1”的代換用得較多，例如1=sin2θ+cos2θ，1=1cos2θ－tan2θ，等等.

令x2+y2=m2，

則x=mcosθ，y=msinθ，

由已知可得5m4cos2θsin2θ+m4sin4θ=1，

m2=15cos2θsin2θ+sin4θ

=1sin2θ（5cos2θ+sin2θ）

=1sin2θ（5－4sin2θ）≥45，

當且僅當sin2θ=58時取等號，

故x2+y2最小值為45.

點評" 運用該方法求解問題時，可以較直觀地看到兩個變量之間的聯系.需要注意三角函數本身取值范圍的限制.

3" 方法總結

3.1" 構造函數法

（1）適用模型：單變量問題.

（2）方法優勢：適用范圍較廣，對于求取值范圍的問題比較有用，轉換成函數問題后，處理方法較多，例如借助函數的單調性、圖象等，或者借助導數在函數中的應用求解.

（3）局限性：部分多變量問題不易轉換成單變量問題，求解的運算量有時較大.

3.2" 經典不等式法

（1）適用模型：問題可以轉化為變量的和、積、平方和的形式.

（2）方法優勢：相比其他方法，該方法可求解大于等于3個變量的最值問題，求解過程運算量一般較小.

（3）局限性：一般不能很好地求雙邊最值，求取值范圍問題時受限較多.

3.3" 三角換元法

（1）適用模型：變量的平方和、平方差問題.

（2）方法優勢：用角解決問題可以有效利用三角恒等變換和三角函數的圖象和性質，在解析幾何問題中運用該方法可有效簡化運算.

（3）局限性：變量個數不宜太多.

參考文獻：

［1］羅增儒.數學解題的水平劃分［J］.中學數學教學參考，2020（07）：2-4+21.

［2］袁根福.“多題一解”視角下的高考數學解題教學——橢圓焦半徑公式推導及在高考解題中的應用［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2024（05）：7-10.

［3］王正梅.基于一題多解的教育視角研究［J］.文理導航（中旬），2024（03）：19-21.