一道橢圓方程問題的多元探索與深入分析

【摘要】橢圓是高中數(shù)學圓錐曲線問題中的一個重要圖形，與其相關(guān)的問題也是解析幾何的重難點.橢圓相關(guān)問題綜合性較強，而求解橢圓問題的前提是得到橢圓的方程.本文結(jié)合一道典型例題，從多個角度探究此類問題的解題方法，以供參考.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學；圓錐曲線；橢圓方程

例題" 已知橢圓C的焦點為F1（－1，0），F(xiàn)2（1，0），過F2的直線與橢圓C交于A，B兩點，若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，則橢圓C的方程為.

問題分析通過對題目的分析可以發(fā)現(xiàn)，“焦點F1（－1，0），F(xiàn)2（1，0）”的條件給出了橢圓基本方程的類型，能夠得到參數(shù)c的大小.而“|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|”的條件則指向要利用線段長度或者向量的模進行運算，指明了解題思路.同時還要綜合考慮A、B兩點是直線與橢圓的交點，可以利用韋達定律列出關(guān)于交點的等式.

解法1（利用離心率公式）

若AF=λFB（λ∈R，且λ≠0），設(shè)直線AB的傾斜角為θ，斜率為k，則e=1+k2·|λ－1λ+1|或e|cosθ|=|λ－1λ+1|，求出離心率，從而求得橢圓方程.

解" 由離心率公式可得1+k2=1+tan2θ=1+sin2θcos2θ=1cos2θ.

又因為cosθ=－cos（π－θ），

而cos（π－θ）=ca，

且AF2=2F2B，則λ=2.

所以|cosθ|=ca，

故e·ca=2－12+1=13，e2=13，e=33.

由此可得a2=3，c2=1，b2=2，

故橢圓的方程為x23+y22=1.

解法2（利用向量運算結(jié)合余弦定理）

向量是解答橢圓問題的重要工具，合理運用向量運算，結(jié)合余弦定理等平面幾何定律即可利用向量運算和作輔助線的方式即可得到答案.

解" 在△AF1B中，由余弦定理可得AB2=BF12+AF12－2|F1B||F1A|cos∠BF1A，

利用向量的運算關(guān)系可得2|F1B||F1A|cos∠BF1A=2F1B·F1A，

則有2F1B·F1A=BF21+AF21－AB2=94a2+a2－94a2=a2.

因為AF2=2F2B，F(xiàn)1F2－F1A=2F1B－2F1F2，

3F1F2=2F1B+F1A，

對上式兩邊同時平方可得9F1F22=4F1B2+F1A2+4F1A·F1B.

又因為F1F2=2c，

可得c2a2=1236=13，

則a2=3，c2=1，b2=2.

故橢圓的方程為x23+y22=1.

解法3（構(gòu)造相似三角形，結(jié)合點B在橢圓上）

相似三角形是特殊三角

形中最為重要的三角形

性質(zhì)，利用相似條件不

僅可以得到角的等價關(guān)

系，還可以得到邊長的

比值關(guān)系，結(jié)合代數(shù)運

算即可求解.

解" 過點B作x軸的垂線，記交點為D，如圖1.

圖1

因為|AF2|=2|F2B|，∠AF2O與∠DF2B是對頂角，

所以∠AF2O=∠DF2B.

所以△AF2O～△BF2D.

因為AO=b，

所以BD=b2.

因為OF2=c，F(xiàn)2D=c2，OD=3c2，

所以點B的坐標為32c，－b2.

因為點B在橢圓上，

所以3c22a2+－b22b2=1.

又因為c=1，a2-b2=c2，

所以a2=3，c2=1，b2=2.

故橢圓的方程為x23+y22=1.

解法4（根據(jù)線段比值，利用橢圓的第一定義和余弦定理求解）

橢圓定義是解答橢圓問題的重要依據(jù).從定義出發(fā)，

合理運用第一定義和第二定義中的線段長度條件，即

可綜合解得答案.

解" 設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），如圖所示，由橢圓定義可得：

AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a，

則AF1+AF2=BF1+BF2.

又因為AB=AF2+F2B，|AB|=|BF1|，

有AF1+AF2=AF2+F2B+BF2，

所以AF1=2BF2.

由|AF2|=2|BF2|，

有AF1=AF2，

則|AF1|=|AF2|=a，

故點A為橢圓的上頂點或下頂點，

|BF2|=a2，|AB|=|BF1|=3a2.

在△AF1B中，由余弦定理可得cos∠F1AB=|AF1|2+|AF|2－|F1B|22|AB|·|AF1|=13，

所以cos∠F1AF2=cos∠F1AB=13.

在△AF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1AF2=|AF1|2+|AF2|2－|F1F2|22|AF2|·|AF1|=13，

可得a2=3，

而根據(jù)題目可知c2=1，

故b2=2，

所以橢圓的方程為x23+y22=1.

結(jié)語

通過對這道例題的深入探索，得以從多個角度對此類問題的解題策略進行了全面的分析和研究.解答此類問題關(guān)鍵的一步就是將橢圓方程中的參數(shù)轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的幾何量.同時，還要合理利用向量這一代數(shù)與幾何之間的橋梁來進行運算，從而便于問題的求解.