巧建函數(shù)模型解決實際問題

【摘要】在高中學(xué)習(xí)中，如何巧妙地構(gòu)建函數(shù)模型來處理實際問題，對高中學(xué)生而言是一個難點．本文通過對不同類型實際問題的分析，闡述函數(shù)模型建立的方法以及其在解決實際問題能力方面的重要意義，供讀者參考．

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；函數(shù)模型；解題技巧

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)是一個核心內(nèi)容，它不僅在理論數(shù)學(xué)中具有重要地位，而且在解決實際問題中發(fā)揮著關(guān)鍵作用．隨著社會的發(fā)展，運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力愈發(fā)受到重視．高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)模型為學(xué)生解決問題提供了一種有效的工具，能夠?qū)F(xiàn)實世界中的各種數(shù)量關(guān)系進(jìn)行抽象和簡化，從而幫助學(xué)生找到問題的解決方案．通過巧妙構(gòu)建函數(shù)模型，學(xué)生可以更好地理解數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和應(yīng)用能力．

1" 構(gòu)建函數(shù)模型處理資金分配問題

例1" 某華為平板電腦體驗店預(yù)計2025年全年可以銷售450臺平板電腦，已知該平板電腦的采購價是3000元/臺，因資金的限制，店長決定分批采購這批產(chǎn)品，若每批均采購xx∈N*臺平板電腦，則采購的每批電腦的運費為200元，儲存采購的平板電腦一年需付的保管費與每批采購平板電腦的總價值成正比，若每批采購平板電腦50臺，則全年需付保管費和運費共6800元.

（1）求全年所付運費和保管費之和y關(guān)于x的函數(shù)；

（2）若全年支付運費和保管費的資金僅有5600元，為使資金夠用，需怎樣安排每批進(jìn)貨數(shù)量？如果夠用，求出每批進(jìn)貨的數(shù)量；如果不夠用，至少還需補多少？

解析" （1）設(shè)保管費與電腦總價值的比例系數(shù)為k，

則y=450x×200+k×3000x=90000x+3000kx

當(dāng)x=50時，y=6800，解得k=130，

所以y=90000x+100xx∈N*；

（2）由（1）有，y=90000x+100x≥290000x·100x=6000，

當(dāng)且僅當(dāng)90000x=100x，即x=30時，等號成立，

所以每批應(yīng)購入平板電腦30臺，全年運費和保管費最少，為6000元，此時還需補400元.

點評" 這類問題，首先要根據(jù)題目給定的實際情境和已知條件構(gòu)造函數(shù)模型，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，再結(jié)合函數(shù)知識或其他數(shù)學(xué)知識解決問題.

2" 構(gòu)建函數(shù)模型處理幾何實際問題

例2" 某公司要修建一座八邊形的會所，會所主體的平面圖如圖1所示，它是由兩個完全相同的矩形ABCD和矩形EFGH構(gòu)成的十字形地域．四個小矩形（矩形AMQD、矩形MNFE、矩形BCPN、矩形PQHG）與小正方形MNPQ的面積之和為400m2，且AM=ME=3NB．計劃在正方形MNPQ上修建一座造價為1000元/m2的花壇；在矩形AMQD、矩形MNFE、矩形BCPN、矩形PQHG上均鋪上造價為400元/m2的花崗巖地坪；在四個三角形上種上造價為200元/m2的草坪．設(shè)AD的長為x（單位：m）．

圖1

（1）用x表示AM的長度，并寫出x的取值范圍；

（2）用x表示花壇與地坪的造價之和；

（3）設(shè)總造價為y元，當(dāng)AD的長為何值時，總造價最低？并求出最低總造價．

解析" （1）由題意：矩形AMQD的面積為38（400－x2），

因此AM=38·400－x2x，

因為AMgt;0，

所以0lt;xlt;20．

（2）y=1000x2+400×（400－x2）=600x2+160000.

（3）由題意可得：y=1000x2+400×（400－x2）+200×169×964×12×400－x2x2

=10025x24+40000x2+140000（0lt;xlt;20），

由基本不等式y(tǒng)≥100×225x24×40000x2+140000=240000，

當(dāng)且僅當(dāng)25x24=40000x2，即x=45時，等號成立，

所以當(dāng)x=45時，總造價y最小，最小值為240000元．

點評" 本題第（3）問中，根據(jù)題目要求列出函數(shù)表達(dá)式，即可表示出總造價.求解最低的總造價可利用基本不等式知識求解.

3" 構(gòu)建函數(shù)模型解決營銷問題

例3" 某商家生產(chǎn)鹵鴨子，每千克鴨子的成本為20元，加工費為t元（t為常數(shù)），且10≤t≤15．設(shè)商家每千克鹵鴨子的售價為x元（35≤x≤45，x∈N），日銷量為q（單位：kg），且q=kex（kgt;0，k∈R）（e為自然對數(shù)的底數(shù)），根據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)每千克鹵鴨子的售價為40元時，日銷量為50 kg．

（1）求該商家的每日利潤y元與每千克鹵鴨子的售價x元的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若t=15，每千克鹵鴨子的售價x為多少元時，該商家的利潤y最大，并求出利潤的最大值．（精確到元）

解析" （1）由題可知50=ke40，

所以k=50·e40，

所以q=50·e40ex，

所以y=50·e40x－20－tex（35≤x≤45，x∈N）.

（2）當(dāng)t=15時，

y=50·e40x－35ex35≤x≤45在［35，36］上單調(diào)遞增，在36，45上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=36時，ymax=50·e4≈2730元，

即當(dāng)每千克鹵鴨子的售價為36元時，

該商家的利潤最大為50·e4≈2730元．

點評" 根據(jù)題意，首先求k，再代入利潤=銷量×每只鴨子的利潤，即可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；求解利潤的最大值時，結(jié)合函數(shù)的定義域，利用代入的方法進(jìn)行求解.可見，利用函數(shù)模型求解實際問題時，首先要分析問題，然后設(shè)定變量，建立函數(shù)關(guān)系，最后根據(jù)模型求解與檢驗．

4" 結(jié)語

在高中數(shù)學(xué)中，巧妙地構(gòu)建函數(shù)模型是解決實際問題的重要途徑．通過對實際問題的深入分析、合理設(shè)定變量、準(zhǔn)確建立函數(shù)關(guān)系以及正確求解和檢驗?zāi)Ｐ停軌蛴行У亟鉀Q多種類型的實際問題．同時，這種方法對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和提高解決實際問題的能力有著重要意義．教師在教學(xué)過程中應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生掌握函數(shù)建模的方法和技巧，讓學(xué)生在實踐中不斷提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，更好地將數(shù)學(xué)知識與實際生活相結(jié)合，為學(xué)生的全面發(fā)展和未來的社會生活做好準(zhǔn)備．

參考文獻(xiàn)：

［1］張宏亮.運用函數(shù)模型，解決實際問題［J］.數(shù)理天地（初中版），2024（15）：26-27.

［2］吳智勇.構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題［J］.初中生世界，2021（47）：53-55.