探究數列求和問題中三種常見的裂項類型

【摘要】數列是高中數學中的一個重要板塊，其知識框架大，方法獨特.其中數列求和問題是一類典型的問題，綜合性強，對學生的運算能力和觀察能力有較高要求.數列求和中最常運用到的一個技巧就是裂項，即分裂數列的通項以達到求和時部分項相消的目的.本文將結合實例探討數列求和問題中常見的裂項技巧.

【關鍵詞】數列求和；裂項技巧；高中數學

裂項法在數列求和問題中的應用極其廣泛，對于不同的結構有不同的裂項方法，僅僅掌握幾種常見類型是不夠的，還要能夠在此基礎上對結構進行合理改造，從而應對更加廣泛的裂項問題.本文將深入探討三種較為復雜的裂項類型，指明此類問題的解題方法，以供讀者參考.

類型1" an－1（an－1+b）（an+b）型

此類型的數列通項，其分母為指數加常數的項相乘的形式.觀察項的特征可以發現，分母上指數的階數只相差了一階，因此肯定要分離出一個常數a，并通過裂項加常數配湊的方式得到分子，即可在求和時達到對應項相消的目的.

例1" 設數列an是公比大于1的等比數列，Sn為數列an的前n項和，S3=7，且3a2是a1+3和a1+4的等差中項.

（1）求數列an的通項公式；

（2）設bn=an（an+1）（an+1+1），數列bn的前n項和為Tn，求證：Tnlt;12.

解" （1）由已知條件可得

a1+a2+a3=7（a1+3）+（a3+4）2=3a2，解得a2=2.

設數列an的公比為q，則a1q=2，所以a1=2q，a3=a1q2=2q，所以a1=1.

所以數列的通項公式為an=2n－1.

（2）因為bn=an（an+1）（an+1+1）

=2n－1（2n－1+1）（2n+1）=12n－1+1－12n+1，

則Tn=（11+1－121+1）+（121+1－122+1）+（122+1－123+1）+…+（12n－1+1－12n+1）

=11+1－12n+1=12－12n+1lt;12.

評析" 此類型是較為簡單的類型，裂項關鍵在于實數a，b的大小，先將分母中的兩指數式化為相同階數的形式，再進行配湊.

類型2" n+1n2（n+2）2型

這一類數列通項分母因為有平方的存在，看似比較復雜，但是如果將平方式展開，就會發現分子與分母展開后的平方式之間有一定的關系，通過對乘式進行配湊即可成功裂項.

例2" 已知數列an滿足an+1－an+1=an+an（n∈N*），且a2=4.

（1）求數列an的通項公式；

（2）記bn=an+1（n+2）2an，求數列bn的前n項和Sn.

解" （1）因為an+1－an+1=an+an，所以an+1－an=an+1+an.

所以an+1－an=1.因為a2=4，所以a1=1.

所以數列an是以1為首項，1為公差的等差數列.

所以an=1+n－1，

所以數列an的通項公式an=n2.

（2）因為bn=an+1（n+2）2an=n+1（n+2）2n2，

所以bn=n+1（n+2）2n2=14［1n2－1（n+2）2］.

所以Sn=14［1－132+122－142+…+1（n－1）2－1（n+1）2+1n2－1（n+2）2］，

則Sn=14［1+122－1（n+1）2－1（n+2）2］=14［54－1（n+1）2－1（n+2）2］.

評析" 不僅是平方式可以使用此方法，以此類推，對于根式，可以采取平方的方法將其轉化為一次式，同樣利用此方法進行求和.

類型3" n+2n·（n+1）·2n型

這一類數列通項其分母是三項相乘的形式，相對兩項相乘的形式較難.在裂項的過程中既要考慮到乘式還要考慮到指數，但是往往分開來的兩項分母兩者并存.

例3" 設等差數列an的前n項和為Sn，S3=2a3，S4=2a4+4.

（1）求數列an的通項公式；

（2）令bn=an+22nSn，設數列bn的前n項和為Tn，求證：Tnlt;2.

解" （1）設an的公差為d，由題意得3a1+3d=2a1+4d4a1+6d=2a1+6d+4，解得a1=2d=2.

所以數列an的通項公式an=2n.

（2）因為an=2n，

所以Sn=n（2+2n）2=n2+n.

所以bn=an+22nSn=2（n+2）2n（n2+n）=4×［1n·2n－1－1（n+1）·2n］，

所以Tn=4［（11×20－12×21）+（12×21－13×22）+…+（1n·2n－1－1（n+1）×2n）

=2［1－1（n+1）·2n］lt;2.

評析" 在配湊這一類數列通項時要合理利用指數的底數，此常數可在配湊分子時發揮很大的作用.

上述三種類型的裂項雖然看似有所不同，但其實本質并沒有差異，都是通過常數的配湊來將乘式變為和式以達到對應項相消的目的.面對形式越復雜的數列通項時，越需要沉著冷靜地進行拆分，不斷嘗試合理的構造方法，問題就能迎刃而解.在平時的學習過程中也要多積累，面對問題時就能更加從容.

參考文獻：

［1］紀明亮.多角度探究等差數列乘等比數列求和問題［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2024（05）：32-34.

［2］王明君，孫曉雪.利用倒序相加幾何模型求解含平方、立方的數列求和問題［J］.高中數理化，2019（16）：15-16.

［3］唐婷婷.創新定義巧設置，數列問題妙應用［J］.中學數學，2021（11）：76-77.