在邏輯推理核心素養視角下破解抽象函數定義域

【摘要】函數定義域是研究函數的基本條件，而函數性質又是高中數學的重要知識點之一，也是考查的熱點.求抽象函數定義域問題是求函數定義域題型中的難點，也是易錯點.本文以邏輯推理數學核心素養為導向，對簡單抽象函數到復合抽象函數、復合抽象函數到簡單抽象函數和復合抽象函數到復合抽象函數三種題型進行探究.

【關鍵詞】函數；高中數學；解題技巧

求抽象函數定義域問題一直是考查的熱點題型，同時也是易錯點.通過分析總結，易錯的主要原因是不能理清楚兩個函數的自變量x的關系，也搞不清楚兩個函數具有什么樣的關系.本文以邏輯推理數學核心素養為導向，通過類比形式探究兩個函數的關系和自變量x的關系，將問題分為簡單抽象函數到復合抽象函數、復合抽象函數到簡單抽象函數和復合抽象函數到復合抽象函數三種題型進行探討，給出答題策略，以供參考.

1" 從簡單抽象函數到復合抽象函數

這種題型是已知函數y=fx的定義域，要求函數y=fgx的定義域.解題基本思路是先將兩個函數進行類比，得到gx，即兩者的取值范圍一致，則由函數y=fx中x的取值范圍即可得到函數gx的值域，根據函數gx的值域求解不等式，解出函數gx中x的取值范圍即為函數y=fgx的定義域.

例1" 已知函數y=fx的定義域為－2，3，求函數y=flog2x的定義域.

解析" 因為已知函數y=fx的定義域為－2，3，所以函數y=fx的自變量x∈－2，3.

所以log2x∈－2，3，即－2lt;log2x≤3，解這個不等式組，得14lt;x≤8.

所以當函數y=fx的定義域為－2，3時，函數y=flog2x的定義域為14，8.

評注" 題目是已知函數y=fx的定義域為－2，3，要求函數y=flog2x的定義域.其中函數y=fx是簡單抽象函數，y=flog2x是復合抽象函數.通過類比，由函數y=fx中的自變量與函數y=flog2x中的log2x是等價關系，以及x∈－2，3可得－2lt;log2x≤3，解不等式即可.解題的關鍵是要弄清楚：函數y=fx中的自變量x與函數y=flog2x中的x不一樣.

2" 從復合抽象函數到簡單抽象函數

這類題型與上述題型相反，現在已知函數y=fgx的定義域，要求函數y=fx的定義域.解答該題型的基本思路是：通過將函數y=fgx與函數y=fx進行類比，得到gx，則只需要根據函數y=fgx的定義域求出函數gx的值域，即為函數y=fx的定義域.

例2" 已知函數y=fx2－4x－1的定義域為－3，5，求函數y=fx的定義域.

解析" 設函數gx=x2－4x－1，該函數圖象是開口向上，對稱軸為x=2的拋物線.

因為函數y=fx2－4x－1的定義域為－3，5，所以函數gx=x2－4x－1在區間－3，2上單調遞減，在區間2，5上單調遞增，

所以gxmin=g2=4－8－1=－5，gxmax=g－3=9+12－1=20.則當x∈－3，5時，函數gx的值域為－5，20，所以函數y=fx的定義域為－5，20.

評注" 通過類比可得：函數y=f（x2－4x－1）中的x2－4x－1與函數y=fx中的x是等價關系，即函數y=fx2－4x－1中x2－4x－1的取值范圍與函數y=fx中x的取值范圍一致，所以只要根據函數y=fx2－4x－1的定義域求出函數gx=x2－4x－1的值域，即為函數y=fx的定義域.

3" 從復合抽象函數到復合抽象函數

這種題型要復雜一點，即是已知函數y=fmx的定義域，要求函數y=fnx的定義域.解答該題型的一般思路是：根據類比，函數y=fmx中的mx與函數y=fnx中的nx為等價關系，即取值范圍一致，則先根據函數y=fmx的定義域求出函數mx的值域，就可以得到了函數nx的值域，再根據nx的值域解出x的取值范圍即為函數y=fnx的定義域.

例3" 已知函數y=f2x的定義域為0，+∞，求函數y=fx－2x+1的定義域.

解析" 設函數gx=2x.

因為函數y=f2x的定義域為0，+∞，所以函數gx=2x的值域為1，+∞.

因為2x與x－2x+1是等價關系，所以有x－2x+1≥1，解得xlt;－1.

所以當函數y=f2x的定義域為0，+∞時，函數y=fx－2x+1的定義域為－∞，－1.

評注" 通過類比，函數y=f2x中的2x與函數y=fx－2x+1中的x－2x+1是等價關系，即2x與x－2x+1的取值范圍一致，所以根據函數y=f2x的定義域為0，+∞，可以求出函數gx=2x的值域，進一步得到x－2x+1的取值范圍，解出x的取值范圍即是函數y=fx－2x+1的定義域.

4" 結語

本文針對抽象函數的易錯點進行探究，以邏輯推理數學核心素養為導向，通過對題目涉及的兩個函數進行類比，找到等價關系，以找到的等價關系作為橋梁，根據已知函數的定義域過渡到要求函數的定義域.根據這樣的基本思路，將問題分為三種類型，分別是：已知函數y=fx的定義域，要求函數y=fgx的定義域，其中函數y=fx中的自變量x與函數y=fgx中的gx等價；已知函數y=fgx的定義域，要求函數y=fx的定義域，其中函數y=fgx中的gx與函數y=fx中的自變量x等價；已知函數y=fmx的定義域，要求函數y=fnx的定義域，其中函數mx與函數nx為等價關系.

參考文獻：

［1］楊紅利.培養高中生邏輯推理核心素養的研究——以函數與導數教學為例［J］.數理天地（高中版），2024（13）：117-119.

［2］吳葉芳.“邏輯推理”核心素養指導下的解題教學——以“極值點偏移為例”［J］.中學教研（數學），2024（5）：27-31.